$n$ -derivada de $(x^2-1)^n$ tiene raíces reales distintas en $[-1,1]$ .

Question

Para $n=1,2,3,\ldots$ , dejemos que $$f(x) = (x^2-1)^n .$$ Demuestre que el $n$ -derivada $f^{(n)}$ tiene raíces reales distintas en $[-1,1]$ .
No tengo ni idea del problema. ¿Podría darme una pista?

Answer 1

$f(x)=(x^2-1)^n$ es una función par con dos ceros de multiplicidad $n$ en $x=\pm 1$ . De ello se desprende que $f'(x)$ tiene dos ceros de multiplicidad $n-1$ en $x=\pm 1$ y un cero en $x=0$ . Por el teorema de Rolle, $f''(x)$ tiene un cero en $(-1,0)$ y un cero en $(0,1)$ . Además, hay dos ceros de multiplicidad $n-2$ en $x=\pm 1$ . Continuando así, podemos ver que $f^{(n-1)}(x)$ tiene $(n-1)$ ceros distintos en $(-1,1)$ y dos ceros simples en $x=\pm 1$ Así que $f^{(n)}(x)$ tiene $n$ ceros distintos en $(-1,1)$ como se quería.

Answer 2

Sugerencia :

Se puede utilizar la inducción para demostrar que el $k$ -la derivada tiene $k$ raíces reales en $(-1,1)$ .