¿Esto es una forma válida para probar, que $a^2 + b^2 \neq 3c^2$ % enteros todos $a, b, c$? (excepto el caso trivial)

Question

Actualización:
(debido a la longitud de la pregunta, he de poner una actualización en la parte superior)
Agradezco recomendaciones con respecto a la alternativa de las pruebas. Sin embargo, el énfasis principal de mi pregunta es acerca de la corrección del razonamiento en el 8º caso de la prueba (con un diagrama).

Pregunta Original:

Me gustaría saber, si la siguiente prueba, es una forma válida de demostrar que $a^2 + b^2 \neq 3c^2$ todos los $a, b, c \in Z$ (excepto en el caso trivial, al $a=b=c=0$). Más formalmente, tenemos que demostrar la veracidad de la siguiente afirmación:

$$P: (\forall a,b,c \in Z, a^2 + b^2 \neq 3c^2 \lor (a=b=c=0))$$

Prueba. (por contradicción)
Por el bien de la contradicción, supongamos que existen tales $a, b, c \in Z$, $a^2 + b^2 = 3c^2$ (y la combinación de $a,b,c$ no es un caso trivial). Más formalmente, supongamos que $\neg P$ es cierto:

$$\neg P: (\exists a,b,c \in Z, a^2 + b^2 = 3c^2 \land \neg (a=b=c=0))$$

Hay $2^3$ posibles combinaciones de los diferentes partidos de $a,b,c$ (8 discontinuo de los casos, que cubren toda la $Z^3$). Así, con el fin de demostrar la declaración original, tenemos que considerar cada caso, y mostrar que la verdaderaunidad de la $\neg P$ siempre conduce a algún tipo de contradicción.

Vamos a considerar en 8 casos (7 de los cuales son simples, mientras que el 8 de caso se ve un poco complicado, y no estoy seguro en cuanto a su exactitud):

Caso 1) $a$ es impar, $b$ es impar, $c$ es impar
Por lo tanto:
$a = (2x + 1)$, $b = (2y + 1)$, $c = (2z + 1)$ para algunos $x, y, z \in Z$
Así:
$$ a^2 + b^2 = 3c^2 \\ \implica (2x + 1) ^2 + (2y + 1)^2 = 3 \cdot (2z + 1)^2 \\ \implica 2 \cdot (2x^2 + 2x + 2y^2 + 2y + 1) = 2 \cdot (6z^2 + 6z + 1) + 1 \\ \implica incluso\ number = impar\ número de \\ $$

Sin embargo, el derivado del resultado contradice el hecho de que los números impares y los números no pueden ser iguales. Por lo tanto: $(even\ number = odd\ number) \land (even\ number \neq odd\ number)$, o lo que es equivalente: $(even\ number = odd\ number) \land \neg (even\ number = odd\ number)$. Contradicción.

Caso 2) $a$ es impar, $b$ es impar, $c$ es incluso
Por lo tanto:
$a = (2x + 1)$, $b = (2y + 1)$, $c = 2z$ para algunos $x, y, z \in Z$
Así:
$$ a^2 + b^2 = 3c^2 \\ \implica (2x + 1) ^2 + (2y + 1)^2 = 3 \cdot (2z)^2 \\ \implica 2 \cdot (2x^2 + 2x + 2y^2 + 2y + 1) = 12z^2 \\ \implica 2 \cdot (x^2 + x + y^2 + y) + 1 = 6z^2 \\ \implica impar\ number = \ número $$ Contradicción.

Caso 3) $a$ es impar, $b$ es incluso, $c$ es impar
Por lo tanto:
$a = (2x + 1)$, $b = 2y$, $c = (2z + 1)$ para algunos $x, y, z \in Z$
Así:
$$ a^2 + b^2 = 3c^2 \\ \implica (2x + 1) ^2 + (2y)^2 = 3 \cdot (2z + 1)^2 \\ \implica 4x^2 + 4x + 1 + 4y^2 = 12z^2 + 12z + 3 \\ \implica 4\cdot(x^2 + x + y^2) = 2 \cdot (6z^2 + 6z + 1) \\ \implica 2\cdot(x^2 + x + y^2) = 6z^2 + 6z + 1 \\ \implica incluso\ number = impar\ número $$ Contradicción.

Caso 4) $a$ es impar, $b$ es incluso, $c$ es incluso
El cuadrado de un número impar es impar ($a^2$ es impar).
El cuadrado de un número es par ($b^2$$3c^2$ son incluso).
Hecho: la suma de un número par y un número impar es impar.
Sin embargo, la igualdad: $a^2 + b^2 = 3c^2$ lleva a la conclusión de que: $odd\ number + even\ number = even\ number$
Contradicción.

Caso 5) $a$ es incluso, $b$ es impar, $c$ es impar
Simétrica para el Caso 3 (debido a $a$ $b$ son mutuamente intercambiables), que muestra la contradicción.

Caso 6) $a$ es incluso, $b$ es impar, $c$ es incluso
Simétrica para el Caso 4, que muestra la contradicción.

Caso 7) $a$ es incluso, $b$ es incluso, $c$ es impar
Por lo tanto:
$a = 2x$, $b = 2y$, $c = (2z + 1)$ para algunos $x, y, z \in Z$
Así:
$$ a^2 + b^2 = 3c^2 \\ \implica 4x^2 + 4y^2 = 12z^2 + 12z + 3 \\ \implica incluso\ number = impar\ número $$ Contradicción.

Caso 8) $a$ es incluso, $b$ es incluso, $c$ es incluso
Por lo tanto:
$a = 2x$, $b = 2y$, $c = 2z$ para algunos $x, y, z \in Z$
Así: $$ a^2 + b^2 = 3c^2 \\ \implica 4x^2 + 4y^2 = 3 \cdot 4z^2 \\ \implica x^2 + y^2 = 3z^2 $$

Ahora, nos enfrentamos con la misma instancia del problema, sin embargo, el tamaño del problema es estrictamente menor ($x = {a \over 2}$, $y = {b \over 2}$, $z = {c \over 2}$).
A primera vista, parece que tenemos que considerar de nuevo los ocho posibles paridades de $x, y, z$. Sin embargo, si analizamos todas las dependencias entre los casos del problema, nos daremos cuenta de que los únicos resultados posibles son la contradicción o el caso trivial:

Hemos demostrado la contradicción en todos los casos, de ahí que posteriormente hemos demostrado la declaración original. $\blacksquare$

Así que, me gustaría saber, si hay algún problema con el razonamiento, en la 8ª caso?

Answer 1

Supongamos que existe una solución con al menos uno de $a,b\neq 0$. Si $(a,b,c)$ es una solución $(\frac{a}{\gcd(a,b)},\frac{b}{\gcd(a,b)},\frac{c}{\gcd(a,b)})$ también es una solución (y todos los términos son números enteros) y $a$ y $b$ son coprimos.

Aviso ahora que $a^2+b^2$ no puede ser un múltiplo de $3$ a menos que ambos son múltiplos de $3$ (porque $a^2\equiv 0$ o $1\bmod 3$). Concluimos eso si $a^2+b^2=3c^2$ tenemos $a=b=0$.

Answer 2

Hay de verdad en su método para el caso 8. Se llama inifinte pendiente y equivalente a la inducción (es decir, alternativamente podría comienzas lejos con suponiendo que $(a,b,c)$ es la solución no trivial más pequeño, y entonces $(a/2,b/2,c/2)$ no puede ser una solución).