Intuición detrás de la tasa de crecimiento de algunas funciones

Question

Esta realmente aplastó mi intuición. Digamos de una función de $f$ crece más rápido que una función $g$ si $ \lim_{n \to \infty} \frac{f(n)}{g(n)} = \infty $

Cuál de las siguientes funciones crece más rápido :

1. $2^{n/2}$

2. $3^{n/3}$

3. $5^{n/5}$

4. $1000^{1000/n}$

5. $10000^{10000/n}$

Mi apuesta sería en función de 1. o 5. pero como resulta que, la función 2. está creciendo más rápido.

Después de hacer algunos cálculos que yo era capaz de asegurarme de que esto es realmente así. Pero mi principal duda es que todavía hay. ¿Por qué es obvio? Cómo puede uno intuitivamente explicar este comportamiento?

Answer 1

En primer lugar usted debe notar que 4. y 5. debe estar fuera de la cuestión. Esto es debido a que $\lim_{n\rightarrow\infty} 10000^{10000/n}=10000^{\lim_{n\rightarrow\infty}10000/n}=10000^0$. Que, básicamente, significa que la función va a crecer a un menor y a menor velocidad.

Ahora nos quedamos con el 1., 2. y 3. Para resolver esto nos permite reescribir las tres funciones.

$$2^{n/2}=(2^{1/2})^n=(\sqrt{2})^n \ \ \ (1)$$

$$3^{n/3}=(3^{1/3})^n=(\sqrt[3]{3})^n \ \ \ (2)$$

$$5^{n/5}=(5^{1/5})^n=(\sqrt[5]{5})^n \ \ \ (3)$$

Ahora todo lo que tenemos que hacer es ver que el número dentro del paréntesis es mayor. Para 1. tenemos $\approx1.414^n$, para los 2. tenemos $\approx1.442^n$ 3. tenemos $\approx1.380^n$. Desde el 2 de. es más grande que 1. y 3. por lo tanto, es el que tiene mayor tasa de crecimiento.