¿El tercer punto de intersección es también un punto de inflexión?

Question

Permita que$C \subset \mathbb{P}_2$ sea un cúbico no singular. Si$L$ es una línea a través de dos puntos de inflexión distintos en$C$, ¿cómo muestro que el tercer punto de intersección también es un punto de inflexión?

Answer 1

Una explicación menos directa que la de Kevin Dong: su curva es elíptica, y cualquier punto de inflexión puede tomarse como la identidad$\Bbb O$, después de lo cual puede usar acorde y tangente para describir la suma. Entonces, cualquier punto de inflexión es un$3$ - punto de torsión, y el conjunto de todos estos es un grupo.

Answer 2

Sugerencia. Deje $p, q \in C$ estar a dos puntos de inflexión, y deje $L$ ser la línea entre ellos. Deje $L \cdot C = p + q + r$. Deje $M$ la línea tangente a $C$$r$, e $M \cdot C = 2r + s$. Mostrar que $r = s$ mostrando que $s$ se encuentra en la línea a través de$p$$q$.

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En aras de la exhaustividad, podemos proporcionar la solución completa. Deje $M_1$ ser la línea tangente a $C$$p$, e $M_2$ la línea tangente a $C$$q$. A continuación,$M_1 \cdot C = 3p$$M_2 \cdot C = 3q$. Deje $D = M \cup M_1 \cup M_2$. Entonces $$D \cdot C = 3p + 3q + 2r + s \ge 2(L \cdot C).$$ By Noether's Theorem, there exists a curve $E$ of degree at most $\text{grados}(D) - \text{grados}(2L) = 1$ such that $E \cdot C = p + q + s$. We have that $E$ is the line through $p$ and $p$, so $E = L$ and $r = s$, so $M \cdot C = 3r$. Thus, $r$ es un punto de inflexión.

Para una prueba, véase el Teorema 6 aquí.