$\lim\limits_{x\to \infty} \frac{1}{\ln(x+1)-\ln(x)}-x$

Question

Batallando para resolver $\lim\limits_{x\to \infty} \frac{1}{\ln(x+1)-\ln(x)}-x$.

He intentado usar $\ln \left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$, para reescribir el denominador por lo que tengo

$\lim\limits_{x\to \infty} \frac{1}{\ln \frac {x+1}{x}}-x$

Pero de allí im no está seguro cómo utilizar una serie para sustituir la parte de ln.

Answer 1

Usted puede usar serie de Taylor: $x\to\infty$

%#% $de #% así que por simple álgebra tiene$$\frac{1}{\ln(1+\frac1x)}=\left(\frac1x-\frac1{2x^2}+O(1/x^3)\right)^{-1}=x\left(1+\frac1{2x}+O(1/x^2)\right)$ el límite deseado.

Answer 2

Por otra parte, hacer el cambio: $\ln (x+1)-\ln x=y \Rightarrow x=\frac{1}{e^y-1}$. Entonces: $$\lim{y\to 0+}\left(\frac{1}{y}-\frac{1}{e^y-1}\right)=\lim{y\to0+}\frac{e^y-1-y}{ye^y-y}\overbrace{=}^{L}\lim{y\to0+}\frac{e^y-1}{e^y+ye^y-1}\overbrace{=}^{L}\lim{y\to0+}\frac{e^y}{2e^y+ye^y}=\frac12.

Answer 3

Alternativamente, también se puede definir $x=1/t$. El límite se convierte (después de poco de álgebra): $\lim{t\to 0+}\frac{1}{ln(1+t)}-\frac{1}{t}$que no está todavía determinado. Realizar la resta haciendo un término:$\lim{t\to 0+}\frac{t-ln(1+t)}{tln(1+t)}$que es un cero sobre cero situación en la que usted puede aplicar hecho de Rule.In de L'Hospital, tienes que aplicarlo dos veces, pero esto es un poco molesto álgebra. Después de la segunda vez, usted termina con que sigue de$\lim_{t\to 0+}\frac{1}{1+ln(1+t)+1}1/2$.