Demostrar que toda solución $x(t)$ de $x'(t)= A(t)x(t)$ converge a algún límite

Question

(Asintótica a largo plazo). Supongamos que

$$\int_0^\|A(t)\|\,dt < .$$

Demostrar que toda solución $x(t)$ de $x'(t)= A(t)x(t)$ converge a algún límite: $\lim_{t} x(t) = x_.$

(Sugerencia: Primero demuestre que todas las soluciones están acotadas y luego utilice la ecuación integral correspondiente).

Pude resolver una primera parte:

He utilizado que las soluciones están limitadas por $\|\phi(t,t_0)\| \leq e^ {\int_0^\|A(t)\|\,dt}$ . Como $\int_0^\|A(t)\|\,dt < $ entonces $\|\phi(t,t_0)\| \leq K $ . El problema ahora es demostrar que el límite anterior siempre existe. Alguien puede ayudar

Answer 1

Sugerencia

Una vez que sepas que $x$ está limitada por alguna constante $K$ se puede utilizar la ecuación integral para demostrar que $x(t)$ es Cauchy, para $t_1 \leq t_2$ que tienes: $$\|x(t_1)-x(t_2)\| =\left\|\int_{t_1}^{t_2} A(s) x(s) ds \right\| \leq K \int_{t_1} ^{t_2} \|A(s)\| ds$$ Y $\int_{t_1} ^{t_2} \|A(s)\|ds$ va a $0$ como $t_1$ va a $+\infty$ .

Así que utilizando la caracterización secuencial de la convergencia y las secuencias de Cauchy se puede demostrar que, al igual que para las secuencias de Cauchy, siempre que su espacio sea completo la función converge.

Answer 2

Para ampliar mi comentario sobre la forma correcta de la estimación de la solución:

Dejemos que $\pi$ sea una antiderivada de la función escalar $\|A(t)\|$ . Entonces para la solución $x(t)$ con valor inicial $x(t_0)=x_0$ se obtiene la estimación a partir de la forma integral de la EDO $$ \|x(t)-x_0\|\le (\pi(t)-\pi(t_0))\|x_0\|+\int_{t_0}^t\pi'(s)\|x(s)-x_0\|\,ds $$ Siguiendo el lema de Grönwall, obtenemos que $\|x(t)-x_0\|$ es menor que la solución exacta de $$ u'(t)=\pi'(t)(\|x_0\|+u(t)),~~u(0)=0 $$ que es $$ \|x_0\|+u(t)\le \|x_0\|e^{\pi(t)-\pi(t_0)} $$ o en términos del flujo que mapea el punto inicial $(t_0,x_0)$ a la solución $x(t)=(t;t_0,x_0)$ $$ \|(t;t_0,x_0)-x_0\|\|x_0\|\left(\exp\left(\int_{t_0}^{t}\|A(t)\|\,dt\right)-1\right) $$ Esta fórmula contiene ahora tanto la acotación de cualquier solución para $t\to\infty$ así como la propiedad de Cauchy que obliga a la solución a permanecer dentro de bolas siempre decrecientes que se contraen hacia el punto límite.

Answer 3

Tenemos $$\frac{x'(s)}{x(s)} =A(s)$$ así $$\ln|x(t)|=\ln |x(0)|+\int_{0}^t\frac{x'(s)}{x(s)}ds =\ln |x(0)| +\int_{0}^t A(s)ds$$ por lo tanto $$x(t) =\pm x(0) e^{\int_{0}^t A(s)ds}$$ por lo que $$\lim_{t\to \infty}x(t) =\lim_{t\to \infty}\left(\pm x(0) e^{\int_{0}^t A(s)ds}\right)=\pm x(0) e^{\int_{0}^{\infty} A(s)ds}$$