Métrica que hace que el intervalo$[a,b]$ no esté completo

Question

El intervalo$[a,b]$ se completa bajo la métrica euclidiana. ¿Hay una métrica que haga que$[a,b]$ no se complete?

¿Podría darnos los medios generales para resolver esta pregunta?

Answer 1

Deje$f : [a,b] \to [a,b)$ ser una biyección. Luego, defina$d(x,y)=|f(x)-f(y)|$. Ahora,$([a,b],d)$ está completo si se completó iff$[a,b)$.

Answer 2

Cada métrica en $[a,b]$ compatible con la topología usual es completa.

Supongamos $d$ es una métrica en $[a,b]$ compatible con la topología usual (es decir, genera la misma abierto conjuntos). Desde $[a,b]$ es compacto (y metrizable) también es secuencialmente compacto, lo que significa que cada secuencia tiene una convergente larga. Si $\langle x_n \rangle_n$ $d$- Cauchy de la secuencia (es decir, de Cauchy con respecto a la métrica de $d$), a continuación, por la compacidad secuencial tiene una convergente subsequence $\langle x_{n_i} \rangle_i$, decir $\lim_{i \rightarrow \infty} x_{n_i} = x$. Es relativamente sencillo demostrar que $\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = x$.

Nota: Esto no contradice Seirios la respuesta; sólo indica que la topología inducida por la métrica es diferente a la habitual.

Answer 3

Seiros ha dado muchos ejemplos, uno para cada bijection $f:[a,b]\to[a,b)$, pero los bijections tienden a ser un poco complicado. Aquí es un simple aspecto de ejemplo. Definir $d(x,y)$ a ser la habitual distancia$|x-y|$, salvo que, si uno de $x$$y$$b$, mientras que el otro no lo es, entonces se puede definir la distancia $d(x,y)$$|x-y|+1$. Intuitivamente, esto sólo se separa el punto de $b$ del intervalo de $[a,b]$ y se mueve una unidad a la derecha. Una secuencia que, en la métrica usual, enfoques $b$ desde la izquierda es, en la nueva métrica, se sigue una secuencia de Cauchy pero no convergen debido a su intención de limitar ha alejado. (Como Arthur Fischer señala, la nueva métrica debe inducir a una diferente de la topología de la habitual; de hecho, mi nueva métrica hace $\{b\}$ abierta).