Se sabe que es imposible asignar probabilidades a un par de dados cargados para que el % de sumas $2,...,12$son igualmente probables. ¿Cómo se establecería el % de probabilidades ${p_i: 1\le i\le 6}$y ${qi: 1\le i\le 6}$ de los dos dados para que $\sum{i=1}^{11}|s_i-1/11|_2$ es mínima? ($1\le i\le 11$ $s_i$ es la probabilidad que la suma es $i+1$).
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Dale M
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Deje que los dados se $A$$B$, y las probabilidades de cada uno de los números de la cara se $\{a_i,b_i: 1\le i\le 6\}$.
Entonces la probabilidad de cada suma es:
$$\begin{matrix} 2&a_1b_1\\ 3&a_1b_2+a_2b_2\\ 4&a_1b_3+a_2b_2+a_3b_1\\ 5&a_1b_4+a_2b_3+a_3b_2+a_4b_1\\ 6&a_1b_5+a_2b_4+a_3b_3+a_4b_2+a_5b_1\\ 7&a_1b_6+a_2b_5+a_3b_4+a_4b_3+a_5b_2+a_1b_6\\ 8&a_2b_6+a_3b_5+a_4b_4+a_5b_3+a_6b_2\\ 9&a_3b_6+a_4b_5+a_5b_4+a_6b_3\\ 10&a_4b_6+a_5b_5+a_6b_4\\ 11&a_5b_6+a_6b_5\\ 12&a_6b_6\\ \end{de la matriz}$$
Este es un problema de programación lineal para minimizar el menor de los cuadrados de error sujeta a la restricción de que todas las probabilidades debe ser positivo. Este es un problema numérico que muchos de software puede hacer, incluyendo el complemento Solver de excel.
Una solución es
UN B
0.243883042 0.243883042
0.137478805 0.137478805
0.118637979 0.118637979
0.118638094 0.118638094
0.137479191 0.137479191
0.243882889 0.243882889
el que tiene un mínimo de cuadrados de error de $.013$ y oportunidades de:
2 0.059478938
3 0.067057498
4 0.076768004
5 0.090488054
6 0.113753104
7 0.184908719
8 0.11375296
9 0.090488084
10 0.07676813
11 0.067057644
12 0.059478863
