Serie con el aumento de factor dentro de la suma

Question

Tengo una pregunta sencilla. ¿Mientras se hace la serie geométrica: iar $$\sum{i=1}^\infty ar^i = \frac{a}{1-r}.$$ But what if I have something like $\sum{i=1}^\infty ^ ${i-1}? Creo que la serie geométrica, por favor corregirme si estoy equivocado!

Answer 1

Nota: Tu primer fórmula es incorrecta como escrito; la suma debe ir de $0$ $\infty$ para ese resultado; por otra parte, el resultado debe $\frac{ar}{1-r}$ (sólo funciona si $|r|\lt 1$, aunque).

No, la segunda serie no es una serie geométrica, porque el cociente de términos sucesivos no es constante.

Sin embargo: La segunda serie se obtiene de la primera por la diferenciación. Puede utilizar la teoría de la serie de Taylor: $$\begin{align} \frac{a}{1-r} &= \sum{i=0}^{\infty}ar^i &\text{if }|r|\lt 1\ \frac{d}{dr}\frac{a}{1-r} &=\frac{d}{dr}\sum{i=0}^{\infty}ar^i&\text{if }|r|\lt 1\ \frac{a}{(1-r)^2} &= \sum{i=0}^{\infty}\frac{d}{dr}ar^i &\text{if }|r|\lt 1\ \frac{a}{(1-r)^2} &= \sum{i=0}^{\infty} iar^{i-1}&\text{if }|r|\lt 1\ \frac{a}{(1-r)^2} &=\sum_{i=1}^{\infty} iar^{i-1} &\text{if }|r|\lt 1 \end{align} $$

Answer 2

Si te refieres a

$$\sum_{i=1}^\infty i r^{i-1}$$

Esto es sólo el derivado de

$$\sum_{i=0}^\infty r^i=\frac{1}{1-r}$$

y así

$$\sum_{i=1}^\infty i r^{i-1}=\frac{d}{dr}\frac{1}{1-r}=\frac{1}{(1-r)^2}.$$

Todo esto es cierto siempre $|r|