Ayúdame a recordar$\operatorname{cosh}^{2}(y) -\operatorname{sinh}^{2}(y)=1$, alguna verificación y deducción fácil?

Question

Puedo visualizar débilmente alguna forma de deducir esta fórmula con funciones exponenciales, pero la olvidé. ¿Cómo lo recuerdas? Supongamos que simplemente olvida si hay más o menos allí, ¿cómo encuentra la fórmula correcta ahora? Use pythagoras y?

Answer 1

Un enfoque es recordar que$\cosh x = \cos(ix)$ y$\sinh x = -i \sin (ix)$, que lo reduce a$\sin^2 z + \cos^2 z = 1$.

Answer 2

Tal vez esto ayude como una tecla de acceso.

Las funciones de $\cosh$ $\sinh$ el (mitad derecha) de la hipérbola $x^2-y^2=1$ $\cos$ $\sin$ son para el círculo de $x^2+y^2=1$. O, más descuidada, $\cosh$ ($\cos$) es $x$ y $\sinh$ ($\sin$) es $y$.

Por eso me refiero a que la norma trigonométricas parametrización del círculo unitario es $$x=\cos t\qquad y=\sin t.$$

Un estándar de la parametrización de la mitad derecha de la hipérbola rectangular $x^2-y^2=1$ es $$x=\cosh t\qquad y=\sinh t.$$

Comentario: me gusta $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ mejor que el $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$. Después de todo, $x$ viene antes de $y$.

Answer 3

La derivación es de la forma (verifique que esto lo compruebe usted mismo)

ps

Si$$\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2=ab.$ obtenemos la fórmula, específicamente cuando$ab=1$ y$a=e^x$ y luego los cuadrados anteriores son las dos funciones hiperbólicas de trigonometría. Esto es solo conectar definiciones e informática, eso es todo.

Answer 4

recuerda$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$ y$e^xe^{-x}=1$

Answer 5

Si estás orientadas visualmente, trate de recordar las formas de los gráficos para $x\ge 0$, junto con la de $y=e^x$: son muy similares, que se acercan juntos como $x$ aumenta, y $e^x$ es exprimido por encima de $\operatorname{sinh}x$ e inferior al $\operatorname{cosh}x$. Ya que está volando, $\operatorname{cosh}^2 x+\operatorname{sinh}^2 x$ no puede ser constante, y desde $\cosh x>\sinh x\ge 0$, $\operatorname{sinh}^2 x-\operatorname{cosh}^2 x$ no puede ser $1$. Eso deja sólo la elección correcta, $\operatorname{cosh}^2 x-\operatorname{sinh}^2 x=1$.

Si no estás orientadas visualmente, mi consejo es simplemente para aprender la exponencial fórmulas y pensar la identidad en la forma sugerida por anon en su respuesta.