Una pregunta sobre aritmética cardinal sin el axioma de elección

Question

¿Es la multiplicación de cardenales infinitos definido en ZF sin elección?

Answer 1

Supongo que te refieres a la multiplicación de los cardenales.

Finito de multiplicación es siempre definido, ya que es sólo producto Cartesiano, el cual es definido con independencia del axioma de elección.

Así que si $A$ $B$ se establece el conjunto de $A\times B$ existe, y $|A|\cdot |B|=|A\times B|$. De hecho esta es la definición.

Además, si $B=\varnothing$,$A\times B=\varnothing$, ¿por qué? Tenga en cuenta que $\langle a,b\rangle\in A\times B$ si y sólo si $a\in A$$b\in B$. En el caso de que uno de los conjuntos es vacía el producto está vacía. Esto significa que sin importar el axioma de elección $|A|\cdot 0 = 0$.

Lo que el axioma de elección no nos dicen que podemos definir el infinito de los productos, que es $I$ es algo de infinito conjunto de índices, si para todas las $i\in I$ tenemos que $X_i\neq\varnothing$, entonces el axioma de elección se asegura de que los $\prod_{i\in I}X_i$ no está vacío.

Sin el axioma de elección no son tales familias cuyo producto está vacía, y otras familias de conjuntos cuyo producto no está vacía. Sin embargo, siempre tenemos que exigir que $X_i\neq\varnothing$ todos los $i\in I$ ya que de lo contrario el resultado es, simplemente,$\varnothing$.

También vale la pena señalar que sin el axioma de elección $\aleph_\alpha\cdot\aleph_\beta = \aleph_{\max\{\alpha,\beta\}} = \max\{\aleph_\alpha,\aleph_\beta\}$. Al asumir el axioma de elección cada conjunto infinito tiene la cardinalidad de a $\aleph_\alpha$, lo $|A|\cdot|B|=\max\{|A|,|B|\}$. Sin el axioma de elección no son los cardenales que no están bien ordenados y no son iguales para cualquier $\aleph$. En particular, hay cardenales que son incomparables, por lo $\max\{\frak p,q\}$ se convierte en indefinido.

Agregado: (después de que el comentario)

Suponiendo que el axioma de elección, si $\lambda_i$ es un infinito cardenal, el $\prod\lambda_i =|I|\cdot\sup\{\lambda_i\mid i\in I\}$. Esto significa que si $X_i$ es un conjunto cuya cardinalidad es $\lambda_i$ tenemos:

$$\left|\prod X_i\right| = \prod|X_i| = \prod\lambda_i = |I|\cdot\sup\{\lambda_i\mid i\in I\}$$

Sin el axioma de elección esta igualdad no se sostiene por cada familia. Por lo tanto, no está bien definido. Podemos tener un modelo en el que hay una contables de la familia de los pares sin una función de elección. Así que tenemos la siguiente situación:

$$0=|\varnothing|=\left|\prod_{n\in\omega} P_n\right|\neq\prod_{n\in\omega} |P_n| = \left|\prod_{n\in\omega}\{2n,2n+1\}\right| = 2^{\aleph_0}$$

Mostrando que un infinito producto de cardenales no está bien definida, ya que la cardinalidad es una relación de equivalencia y el funcionamiento de los cardenales no debe ser dependiente de la elección de los representantes. De hecho, en determinada situación, que no es posible la elección de los representantes. Así, con todo, no se puede decir que el funcionamiento de los infinitos productos (o cantidades) está bien definido, sin el axioma de elección.

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Leer más en este sitio:

1. Hay no Aleph transfinito cardenales sin el axioma de elección?
2. Sobre un papel de Zermelo
3. Para cada infinita $S$, $|S|=|S\times S|$ implica el Axioma de elección
4. Definir la cardinalidad en la ausencia de elección
5. Algo similar pregunta: la Multiplicación Infinita de los Cardenales (por Cero Específicamente)
6. También los comentarios de aquí: El Axioma de Elección y el Producto Cartesiano.

Answer 2

Sí.

Multiplicación de números (naturales, reales, complejos, etc.) finitos o de ordinales no depende de la elección.

Multiplicación cardinal puede dar su definición generalmente $|A|\times|B|=|A\times B|$, asumiendo que usted tiene una definición adecuada de lo que un cardenal es --la definición habitual de cardenales como ordinales distinguidos no funciona sin elección. Pero las reglas como $|A|\times|B|=\max(|A|,|B|)$ % infinito $A$y $B$ pueden fallar mantener sin elección.