Subconjunto con la misma cardinalidad

Question

Supongamos que $A \subseteq B$ y que $|A| = |B|$ son ambos finitos. ¿Podemos concluir que el $A = B$? $A$ debe contener sólo los elementos que se encuentran también en $B$, así que si seguimos eligiendo elementos de $B$ en $A$ se agotarán, porque tienen la misma cardinalidad. ¿Hay una manera más formal de demostrar esto?

¿Qué pasa si ambos son infinitos? Creo que es probablemente falsa, debido a este ejemplo de contador: $\mathbb{N}_2 \subseteq \mathbb{N}$ y $|\mathbb{N}_2| = |\mathbb{N}|$ y $\mathbb{N}_2 \neq \mathbb{N}$. Donde $\mathbb{N}_2$ es los números naturales incluso.

Answer 1

Ambas afirmaciones son correctas, pero "mantener elegir... funcionado hacia fuera" es bastante informal. Mejor que depender de la definición: un sistema tiene cardinalidad infinita precisamente cuando no se equicardinal con un subconjunto apropiado.

Creo que quiere "cardinalidad" en lugar de "carnalidad" pero por favor no edita ese error bien lejos.

Answer 2

Su primera afirmación es correcta. Si ambos son infinito considere el siguiente escenario. Que $\mathbb{E} = {n \in \mathbb{N} | n = 2k, k \in \mathbb{N}}$. Esto es el conjunto de todos los números naturales incluso. Hay una biyección $f : \mathbb{N} \to \mathbb{E}$ donde se define $f$ $f(x) = 2x$. Ahora tenemos que $\mathbb{E} \subseteq \mathbb{N}$ y $|\mathbb{E}| = |\mathbb{N}|$ y $\mathbb{E} \not = \mathbb{N}$.