Importancia de los grupos $(\mathbb R,+)$ y $(\mathbb Z,+)$ para las series de Fourier

Question

He oído que los grupos $(\mathbb R,+)$ y $(\mathbb Z,+)$ son los grupos más importantes para las series de Fourier. ¿Por qué es así?

Supuestamente, tiene algo que ver con el hecho de que para cualquier $f$ el conjunto $S:=\{ p \ | \ p \text{ is a period of } f \}$ es un subgrupo de $(\mathbb R,+).$

Answer 1

En esta respuesta, te daré un paseo por la teoría de grupos abelianos localmente compactos, ya que te dará una idea de por qué estos dos grupos son muy buenos para la teoría de Fourier. La gracia es que la teoría de Fourier se construye intrínsecamente en torno a las bonitas estructuras algebraicas de los reales y los enteros. Si se presta atención a muy Si se presta atención a las pruebas relativas a las series de Fourier o a la transformada de Fourier, esto queda muy claro.

En primer lugar hay que tener en cuenta que en la recta real tenemos la transformada de Fourier dada por:

$$\mathcal{F}f(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i\omega t} f(t)\,dt,$$

donde $f$ es suficientemente agradable y además

$$f(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega t}\mathcal{F}f(\omega)\,d\omega.$$

Sin embargo, en el intervalo unitario tenemos series de Fourier:

$$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{int},$$

donde $c_n = \dfrac{1}{2\pi}\int_0^1 f(t)e^{-int}\,dt$ para que sea lo suficientemente agradable $f$ . En nuestro primer ejemplo, estamos sumando sobre números reales (nuestra integral es sobre números reales) mientras que en nuestro segundo ejemplo nuestro conjunto de indexación -el conjunto sobre el que estamos sumando- son los números enteros. En un ejemplo, tenemos una suma continua (integral); en el otro, tenemos una suma discreta. Nótese que $c_n$ se sustituye por $\mathcal{F}f(\omega)$ en el Fourier transformar caso.

Estos dos fenómenos son muy , muy de naturaleza similar, con algunas advertencias muy distintas, como se ha señalado anteriormente. Debido a su similitud, parece razonable pensar que existe una teoría más profunda que subyace a estos dos fenómenos. Para extraerla, necesitamos algunas observaciones.

En primer lugar, teníamos que "sumar" sobre los elementos de algún conjunto ( $\Bbb R$ y $\Bbb Z$ ). Este es el reino de la teoría de la medida y sugiere que los tipos de estructuras que podemos considerar deben tener lo que se llama medidas y estas medidas deben ser bastante agradables. Una cosa que aparece una y otra vez en la teoría de la transformada de Fourier es que tenemos que hacer un cambio de variable $x'=x+a$ . Al hacerlo, hacemos uso de la regla de la cadena para obtener que $dx' = dx$ para que nuestras integrales sean básicamente invariantes de la traslación. Sin esto, gran parte de la teoría de Fourier estaría muerta. Volviendo a las medidas, esto significa que las medidas que buscamos también deben ser invariantes de la traslación, es decir $E$ y $gE$ debe tener el mismo volumen.

En segundo lugar, muchas de las técnicas de demostración relativas a la transformada de Fourier y a las series de Fourier requieren las bonitas estructuras algebraicas que tienen los reales y los enteros para poder combinar los exponenciales y manipularlos a nuestro gusto. Esto sugiere que quizá necesitemos una bonita estructura de grupo si queremos desarrollar una comprensión más profunda de la teoría de Fourier.

Estas dos ideas juntas casi te obligan a entrar en el terreno de lo que se conoce como grupos abelianos localmente compactos . Se trata de grupos abelianos que tienen buenas propiedades topológicas. Tales grupos admiten lo que se conoce como medida de Haar, que es una forma muy natural de codificar los volúmenes de los subconjuntos del grupo. En particular, la medida de Haar es invariante de la traslación. Es decir, si $E$ es un subconjunto de $G$ entonces $gE$ y $E$ tienen el mismo volumen que el deseado.

Un resultado de Oxtoby muestra que si abandonamos el ámbito de la compacidad local (incluso si asumimos que la topología de nuestro grupo proviene de una métrica -normalmente las topologías métricas son muy fuertes y garantizan un montón de buenas propiedades-), no tenemos ninguna esperanza de crear una medida de Haar -esto echa más o menos por tierra cualquier esperanza de establecer la teoría de Fourier en este entorno, ya que realmente necesitamos que nuestra medida (noción de volumen) sea invariante de la traslación para poder decir algo significativo más allá de simplemente definir la transformada de Fourier en el grupo-.

Siempre que haya medidas, se puede desarrollar una noción de integración sobre ese conjunto. Dado que, de hecho, podemos integrar sobre grupos abelianos localmente compactos, podemos concebir potencialmente una transformada de Fourier sobre ellos. Sin embargo, la pregunta es: ¿qué papel desempeñan nuestros exponenciales? Esto nos obliga a considerar qué exponenciales realmente son algebraicamente. En primer lugar, sabemos que $|e^{ix}| = 1$ si $x$ es real (o a fortiori integral) y también que $e^{i(x+y)} = e^{ix}e^{iy}$ . Por lo tanto, los exponenciales no son más que homomorfismos de $\Bbb R$ y $\Bbb Z$ en el toroide (círculo unitario) $\Bbb T$ .

Con estas piezas juntas, podemos entonces idear una transformada de Fourier en cualquier grupo abeliano localmente compacto. Si nuestro grupo LCA es $G$ , entonces dejemos que $\chi:G\to\Bbb T$ sea un homomorfismo de $G$ en $\Bbb T$ . La transformada de Fourier en el grupo no es más que

$$\mathcal{F}f(\chi) = \int_G \overline{\chi(g)}f(g)\,dg,$$

donde $dg$ denota que nos estamos integrando sobre nuestro grupo. En el caso de $\Bbb R$ , $\chi(x) = \exp(2\pi ixy)$ para algunos $y\in \Bbb R$ y la integral es nuestra noción habitual de integración; en el caso de $\Bbb Z$ , $\chi(n) = \exp(int)$ para algunos $t\in[0,1)$ y la medida de Haar es la medida de recuento (que nos da una suma discreta en lugar de una integral). Además, muchos de los resultados de la teoría de la transformación de Fourier se trasladan al entorno general de los grupos LCA, aunque las pruebas son mucho más arduas.

Hay más ejemplos para los que este programa funciona que sólo $\Bbb R$ y $\Bbb Z$ , incluyendo $\Bbb T$ y lo que se conoce como $p$ -enteros radicales ( $\Bbb Q_p$ ). (Creo) Cualquier grupo abeliano localmente compacto es de la forma $\Bbb R^k \times \Bbb Z^l \times \Bbb T^m \times (\Bbb Q_p)^n \times K$ donde $K$ es algún grupo compacto (puede ser un grupo finito como $\Bbb Z/n\Bbb Z$ !). No me cite, sólo lo sé de segunda mano por un antiguo asesor.

Con esta clasificación, queda claro que la teoría de Fourier se limita casi a estos casos que conoces porque la estructura algebraica es muy rica y permite una generalización evidente.