Buenas formas de integración $\int_0^1 x^{k+1} (1-x)^k dx$ ?

Question

Sea $k$ sea un número natural. ¿Cuáles son algunas buenas formas de integrar $\int_0^1 x^{k+1} (1-x)^k dx$ y $\int_0^1 x^{k+2} (1-x)^k dx$ ? Quería usar algún programa de matemáticas simbólicas pero no tengo ninguno, así que tengo que aprender una forma de hacerlo manualmente. Gracias.

Answer 1

Sea $$I(a,b)=\int_0^1x^a(1-x)^bdx$$ $$I(0,b)=\frac{1}{b+1}\quad I(a,b)=\frac{a}{b+1}I(a-1,b+1)$$ La segunda identidad es por integración por partes. Resolviendo, $$I(a,b)=\frac{a!}{(b+1)(b+2)...(b+a+1)}=\frac{a!b!}{(a+b+1)!}$$ que resuelve el problema.

Answer 2

Pistas: este es el Función Beta :

$$\int\limits_0^1 x^{k+1}(1-x)^k=B(k+2\,,\,k+1)=\frac{\Gamma(k+2)\Gamma(k+1)}{\Gamma(2k+3)}=\frac{(k+1)!k!}{(2k+2)!}$$