la necesidad de la definición formal de un límite

Question

La definición intuitiva de $\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$ es el valor de $f ( x )$ puede hacerse arbitrariamente cerca de $L$ hacer $x$ suficientemente cerca, pero no igual a, $a$.

la definición formal de límite:Para cada una de las ε > 0, existe una verdadera δ > 0 tal que para todo real x, 0 < | x − a | < δ implica | f(x) − L | < ε.

Por qué necesitamos la definición formal de límite? ¿La definición intuitiva tiene algún defecto ?

Entiendo que la definición intuitiva bastante bien, pero no entiendo mucho sobre el formal.

P. S. debo declarar sólo tengo algunos conocimientos básicos de límite ,empecé a aprender de cálculo hace un par de días .

La comprensión de la formal y definición intuitiva de límite, Este post no es bueno ,porque cubría más de una pregunta , he elegido una pregunta de ella ,así que podemos discutir es más específico .

Answer 1

La definición formal es muy similar a su intuición, lo que no es sorprendente. La principal diferencia es, considerar la función $$f(x)=\sin\left(\frac{1}x\right).$$ como $x\rightarrow 0$. Exhibe cada vez más rápidas oscilaciones que no se desvanecen en amplitud como $x$ disminuye hacia la $0$. Ahora, que hemos podido, por cualquier $L$ $[-1,1]$ elegir arbitrariamente un pequeño $x$ tal que $f(x)=L$. Su definición parecería permitir que así, podríamos decir $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=L$ para cualquier valor en $[-1,1]$, lo cual es obviamente problemática. Una más precisa definición inglés sería:

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$ si se puede forzar el valor de $f(x)$ ser arbitrariamente cerca de $L$ por restricción el valor de $x$ a mentir lo suficientemente cerca de a $a$.

que no ha de acontecer los mismos problemas - es, de hecho, la definición formal. La idea aquí es que excluimos comportamiento oscilatorio - estamos diciendo que podemos, alrededor de $a$, dibujar un poco sobre el punto de $(a,\lim_{x\rightarrow a}f(x))$ que contiene la función.

Answer 2

Para entender por qué tenemos la definición formal de límite, usted realmente tiene que entender por qué tenemos cuidado de definiciones en todo en matemáticas. Una definición formal es realmente necesario cuando la intuición no es lo suficientemente precisa para evitar no sólo las incoherencias, pero lo que es más importante, la profundidad de la comprensión que nos permite ver contraejemplos a la definición intuitiva que tenemos de lo contrario sería ciega.

Un muy buen ejemplo para los principiantes de cálculo estudiante es la relación entre la continuidad y la existencia de la derivada-2 conceptos fundamentales de cálculo usted puede o no puede ser todavía conscientes. Intuitivamente, una función continua es uno donde no hay huecos en la gráfica de la función,es decir, la función está definida en todo el dominio. Por ejemplo, la función f(x) = ax+b, donde a,b son números reales, es continua. f tiene valores definidos en toda la recta real-se define una línea recta en el plano. Donde a= 2 y b=5,la gráfica es:

Ahora vamos a considerar la función f(x) = 1/x. Esta función no es continua en x=0 y la gráfica se parece a esto:

Claramente,hay un "agujero" en la gráfica en x=0. Pero como también se puede ver,la gráfica de la función de lo contrario, no tiene agujeros o brechas. Si excluimos a x = 0 en el dominio de la función (1/x) es continua en su dominio por nuestra "intuitiva" de la definición. Esto es importante tenerlo en cuenta.

El concepto de la derivada es una medida de la tasa de cambio de una función en un punto específico, geométricamente actualizado a través de una línea tangente a la curva en un punto x= a a f(a).Por ejemplo, dada la función f(x) = x^2, la derivada es 2x y geométricamente esto nos da:

Aviso de la derivada es una propiedad local de f-esto es, que se define en un solo punto. En la mayoría de los puntos sobre una curva continua en el avión,debería ser posible construir una línea tangente. Así intitively, se podría pensar que una función que fue continuo sería diferenciable es decir, la derivada existe-en la mayoría de los puntos. De hecho, la mayoría de los matemáticos antes de que el siglo 19, no se preocupe acerca de la existencia de un derivado mientras la función de la gráfica era lo suficientemente "suave". Así que imaginar el desconcierto en el siglo 19, cuando B. Bolzano y Karl Weierstrass, ambos producidos ejemplos de funciones que estaban por todas partes continuo en sus dominios y diferenciable! Para hacer el punto, aquí está una computadora genera la gráfica de la función de Weierstrass:

Esta es una función de la mayoría de los matemáticos no han pensado que fuera posible dada la "intuitiva" de las definiciones y de la maquinaria que había estado trabajando desde Newton. Si usted piensa que estos son meramente matemático abstracciones que no tienen ninguna relevancia en el mundo "real", que estaría muy mal hecho-resulta que muchos de los fenómenos no lineales, tales como la turbulencia, prueba precisamente estos tipos de matemática comportamientos locales! Así que realmente es fundamental para tener precisión en las matemáticas para evitar que nuestros intution de leadong nosotros por el mal camino. La intuición combinado con rigor, en mi opinión, es el más poderoso método humano de generar tanto en matemática y científica de los hechos.

Que la respuesta a su pregunta?

Answer 3

Por supuesto, el $\delta, \epsilon$-definición es poco intuitivo , porque tenemos que para todo... existe... ... para todos... Esta definición fue diseñado de modo que se puede trabajar a bajo nivel, por lo que no suele utilizarse en el cálculo (tal vez, sólo en la introducción), pero es útil en el análisis, para demostrar muchas de las propiedades de los números reales a su relación con la derivada y la integración.

Usted puede comprobar el acerca de la construcción de reales el número de secuencias de Cauchy, para tener una mejor idea acerca de la definición.

Por ejemplo, la definición de un número real

Un número real es definido como un objeto de la forma $LIM_{n \to \infty} a_n$ donde $(a_n)_{n=0}^\infty$ es una secuencia de Cauchy de números racionales.

Una secuencia $(a_n)_{n=0}^\infty$ de los números racionales, $a_0, a_1, a_2, \dotso$, es una secuencia de Cauchy si y sólo si para cada a $\epsilon > 0$, existe un $N \ge 0$ tal que $|a_j - a_k| \ge \epsilon$ todos los $j, k \ge N$.

Así, en el sistema decimal $$1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, \dotso$$ y $$1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, 1.41422, \dotso$$ son secuencias de racionales que un día cercano (convergen) para el mismo número real $\sqrt{2}$.