Pruebas $\frac{(n+1)^4}{4}+(n+1)^3\le\frac{(n+2)^4}{4}$ para todos $n \ge 1$ .

Question

$$\frac{(n+1)^4}{4}+(n+1)^3\le\frac{(n+2)^4}{4}$$

Para todos $n\ge 1$ . Pensé que podría deshacerme de los denominadores así:

$$(n+1)^4+4(n+1)^3\le(n+2)^4$$

Entonces, tal vez, tomar $(n+1)^3$ como factor común:

$$(n+1)^3\cdot((n+1)+4)\le(n+2)^4$$

$$(n+1)^3\cdot(n+5)\le(n+2)^4$$

Pero tengo la sensación de que me estoy atascando. ¿Cómo puedo demostrarlo?

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Esto surgió porque estaba haciendo un ejercicio de inducción. Necesitaba probar para todos $n \ge 1$ :

$$1^3+2^3+3^3+...+n^3\le \frac{(n+1)^4}{4}$$

Por la hipótesis sé que

$$1^3+2^3+3^3+...+n^3+(n+1)^3\le \frac{(n+1)^4}{4}+(n+1)^3$$

Así que lo que finalmente necesito probar es que

$$\frac{(n+1)^4}{4}+(n+1)^3 \le \frac{(n+2)^4}{4}$$

Answer 1

Puede ampliar ambas expresiones $(n+1)^4+4(n+1)^3$ y $(n+2)^4$ la primera es $n^4 + 8n^3 + 18n^2 + 16n + 5$ y el segundo es $n^4 + 8n^3 + 24n^2 + 32n + 16$ . Ahora réstalos. $$(n^4 + 8n^3 + 24n^2 + 32n + 16) - (n^4 + 8n^3 + 18n^2 + 16n + 5)=6n^2 + 16n + 11\geq0$$

Por lo tanto, $$n^4 + 8n^3 + 24n^2 + 32n + 16 \geq n^4 + 8n^3 + 18n^2 + 16n + 5\implies$$ $$\implies (n+2)^4\geq (n+1)^4+4(n+1)^3$$

De hecho, se trata de una desigualdad estricta.

Answer 2

Sugerencia : Poner $m = n+1$ lo único que hay que demostrar es que: $ m^4 + 4 m^3 \leq (m+1)^4$ . Ahora amplía el lado derecho.

Answer 3

Es equivalente ver que $$4(n+1)^3\leq(n+2)^4-(n+1)^4=\bigg((n+1)^2+(n+2)^2\bigg)\big(2n+3 \big)\leq \bigg((n+1)^2+(n+2)^2\bigg)\big(3n+3)\leq 3(n+1)^3+3(n+1)(n+2)^2,$$ que siempre es verdadera, donde hemos utilizado la identidad $a^4-b^4=(a^2+b^2)(a^2-b^2)$ .

Answer 4

$(a+b)^4=(a^2+2ab+b^2)^2=a^2+4a^2b^2+b^4+4a^3b+4ab^3+2a^2b^2$

$$\frac{(n+2)^4}{4}=\frac{(n+1+1)^4}{4}=\frac{(n+1)^4}{4}+(n+1)^2+\frac{1}{4}+(n+1)^3+(n+1)+\frac{1}{2}(n+1)^2$$

$$\frac{(n+2)^4}{4}=\frac{(n+1)^4}{4}+(n+1)^3+\text { some thing which is positive}$$

Así que.., $$\frac{(n+2)^4}{4}\geq\frac{(n+1)^4}{4}+(n+1)^3 \text{ for all $ en \mathbb{N} $}$$