Tengo problemas para entender un comentario en Hartshorne: Que $X$ sea la cúbica proyectiva no singular definida por $y^2z = x^3 - xz^2$ y poner $P_0 = (0,1,0)$ . La afirmación es que $\mathscr{L}(P_0)$ no es muy amplio porque no es generado por sus secciones globales, y que esto a su vez se debe a que $X$ no es racional, por lo que $P_0$ no puede ser equivalente a otro punto de $X$ .
Pero, ¿por qué $\mathscr{L}(P_0)$ generada por sus secciones globales implica $P_0$ es equivalente a otro punto? Esto no está claro para mí. Una pregunta menos precisa: ¿en qué medida se aplica esta observación a $\mathscr{L}(P)$ para otros puntos $P \in X$ ¿o incluso otras curvas proyectivas no singulares de género positivo?
