Cómo demostrar $\frac{1}{x}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+2\sqrt{\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}}$

Question

Pregunta:

Sea $a,b,c>0$ son números dados y $x>0$ , $$ \sqrt{\dfrac{a+b+c}{x}}=\sqrt{\dfrac{b+c+x}{a}}+\sqrt{\dfrac{c+a+x}{b}}+\sqrt{\dfrac{a+b+x}{c}} $$

s $$ \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+2\sqrt{\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{bc}} $$

He encontrado este problema es muy agradable y aquí está mi intento:

Desde $$ \dfrac{a+b+c}{x}=\dfrac{b+c+x}{a}+\dfrac{c+a+x}{b}+\dfrac{a+b+x}{c}+2\sum_{cyc}\sqrt{\dfrac{(b+c+x)(c+a+x)}{ab}} $$ se deduce que $$ \dfrac{a+b+c}{x}+3=\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)(a+b+c+x)+2\sum_{cyc}\sqrt{\dfrac{(b+c+x)(c+a+x)}{ab}}. $$ Me parece muy feo y no puedo continuar.

Gracias, señor.

Answer 1

Puedes demostrar esta ecuación utilizando la aproximación geométrica. Tenga en cuenta que esta ecuación es exactamente similar con Teorema de los 4 círculos de Descartes . El teorema de Descartes dice: Si cuatro circunferencias son tangentes entre sí en seis puntos distintos y las circunferencias tienen curvaturas $k_i$ (para $i = 1,\cdots, 4$ ), entonces $k_i$ satisface la siguiente relación: $$ (k_1+k_2+k_3+k_4)^2=2(k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_4^2), $$ donde $k_i=\pm\dfrac{1}{r_i}$ , $r_i$ es el radio del círculo. La ecuación también se puede escribir como: $$ k_4=k_1+k_2+k_3\pm2\sqrt{k_1k_2+k_2k_3+k_1k_3}, $$ o $$ \frac{1}{r_4}=\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}\pm2\sqrt{\frac{1}{r_1r_2}+\frac{1}{r_2r_3}+\frac{1}{r_1r_3}}. $$ La generalización a $n$ dimensiones o variables se denomina Teorema de Soddy-Gosset . $$ \left(\sum_{i=1}^{n+2}k_i\right)^2=n\sum_{i=1}^{n+2}k_i^2. $$ Para obtener una explicación detallada y una demostración completa del teorema de Descartes (que también responde a su pregunta), puede consultar estos sitios: 1 , 2 o descargue esto revista . $$\\$$

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$$\large\color{blue}{\text{# }\mathbb{Q.E.D.}\text{ #}}$$