Extensión de $\mathbb{Q}[i]$

Question

En esta pregunta, se supone que un anillo no es conmutativo.

Sea $K=\mathbb{Q}[i]$, y $A$ una subálgebra de $\mathcal{M}_n(K)$ (el álgebra de matrices $n \times n$). Suponemos que $A$ es un anillo de división. ¿Es $A$ necesariamente conmutativo?

Más generalmente, si $K$ es una extensión algebraica de $\mathbb{Q}$, donde $-1$ es un cuadrado, ¿es $A$ necesariamente conmutativo?

Si $-1$ no es la suma de tres cuadrados en $K$, podemos construir un anillo de división, que es una extensión algebraica de $K$. La construcción es similar a la de los cuaterniones sobre $\mathbb{R}$. Por lo tanto, en este caso $A$ no es necesariamente conmutativo.

Gracias de antemano.

Answer 1

La respuesta a tu pregunta es no. Más en general, si $K$ es cualquier campo numérico, entonces para cualquier $n > 1$ existe un álgebra de división $D/K$ con centro $K$ y $\operatorname{dim}_K D = n^2$. En particular, $D$ no es conmutativa.

Si $K$ no es formalmente real, entonces no puedes usar el truco fácil de elegir un álgebra cuaterniónica $\left(\frac{a,b}{K}\right)$ con $a, b$ ambos negativos. Pero aún puedes hacer el análogo $p$-ádico de esto.

Aquí primero está una receta general: sea $K/\mathbb{Q}$ cualquier campo numérico, y elige un número primo $p$ que se descompone completamente en $K$ (el conjunto de dichos primos tiene densidad positiva). Ahora elige un álgebra de división $D_0$ sobre $\mathbb{Q}$ tal que $D_0 \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}_p$ siga siendo un álgebra de división. Dado que $p$ se descompone completamente en $K$, $K$ se incluye en $\mathbb{Q}_p$ y así $D = D_0 \otimes_{\mathbb{Q}} K$ sigue siendo un álgebra de división. (En términos aún más abstractos, el grupo de Brauer de cualquier campo numérico es infinito.)

Aquí hay un ejemplo concreto: toma $D_0$ como el álgebra cuaterniónica $\left(\frac{-2,-5}{\mathbb{Q}}\right)$. Esta álgebra está ramificada en $\infty$ y $5$, y $5$ se descompone en $K =\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$, por lo que $\left(\frac{-2,-5}{\mathbb{Q(\sqrt{-1})}}\right)$ sigue siendo un álgebra de división.