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Me gustaría deshacerse de la parte después de "escribir un poco mejor" porque el monstruo que entre la primera y la segunda $=$-signo es horrible y difícil de leer. El uso de más palabras también ayuda si usted va para el más intuitivo de las pruebas. Si usted realmente desea entregar un impermeable, matemática rigurosa prueba, me gustaría probar para evitar la $\cdots$-notaciones (y ya no estás usando palabras que tanto me siento como que es lo que estás buscando). En el más riguroso de las pruebas, cuando trato de demostrar $A=B$, siempre me gusta empezar por escrito $A=$, y el uso sencillo de aritmetic para finalmente terminar con $B$. A veces usted necesita (o quiere) para el uso de algunos lema, como tengo que hacer a continuación con $\sum a^k=\frac1{1-a}$, pero por lo general se puede hablar de ellas antes de comenzar, o simplemente asumir que el lector es consciente de que el hecho de que (como yo lo hago a continuación). Así que, aquí está mi opinión sobre ella:
\begin{align} \sum_{k=0}^{\infty}ka^k&=\\ \sum_{k=1}^{\infty}ka^k&=\\ \sum_{k=1}^{\infty}\left(\sum_{i=1}^k1\right)a^k&=\\ \sum_{k=1}^{\infty}\sum_{i=1}^ka^k&=\\ \sum_{i=1}^\infty\sum_{k=i}^{\infty}a^k&=\\ \sum_{i=1}^\infty a^i\sum_{k=i}^{\infty}a^{k-i}&=\\ \sum_{i=1}^\infty a^i\left(\sum_{k=0}^{\infty}a^k\right)&=\\ \sum_{i=1}^\infty a^i\cdot\frac{1}{1-a}&=\\ \frac{1}{1-a}\sum_{i=1}^\infty a\cdot a^{i-1}&=\\ \frac{a}{1-a}\sum_{i=0}^\infty a^i&=\\ \frac{a}{1-a}\cdot \frac{1}{1-a}&=\\ \frac{a}{(1-a)^2}&\\ \end{align}
Primero de todo, no hay ninguna último término, $a^{\infty}$. La forma correcta de escribir estas sumas serían $a_1+a_2+\cdots$.
Su argumento es básicamente el siguiente: tenemos un infinito triángulo de números que se parece a $$ \begin{array}{ccccc} a^1 & a^2 & a^3 & \dots\\ & a^2 & a^3 & \dots\\ & & a^3 & \dots\\ & & & \ddots\\ \end{array} $$ La suma, $\sum ka^k$, es lo que ocurre cuando se suman todas las columnas, luego se suman todos los importes. Lo que han hecho es, sino que su primera añada las filas, luego se suman todos los importes. El hecho de que tanto la suma de los métodos de acuerdo es evidente para un finito matriz de números, pero exige una justificación para el infinito. Resulta que siempre es ACEPTAR a hacer cuando todos los términos son no negativos, que son en su caso. Esto se conoce como Tonelli del teorema.
Aquí hay otro método, que es diferente y menos intuitivo que su método, pero es más fácil de justificar. Por definición, $\sum_{k=1}^\infty ka^k=\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n ka^k$. Podemos calcular todos estos finito de sumas utilizando exactamente su truco: $$ \begin{align} \sum_{k=1}^n ka^k &=(a^1+\dots+a^n)+(a^2+\dots+a^n)+\dots+(a^n)\\ &=\frac{a^1-a^{n+1}}{1-a}+\frac{a^2-a^{n+1}}{1-a}+\dots+\frac{a^n-a^{n+1}}{1-a}\\ &=\frac{a+\dots+a^n-na^{n+1}}{1-a}\\ &=\frac{\frac{a-a^{n+1}}{1-a}-na^{n+1}}{1-a}\end{align}$$ Dejando $n\to\infty$, $a^{n+1}$ $ na^{n+1}$ ambos desaparecen, dejando la respuesta que esperaba.
Otra técnica estándar para la búsqueda de las sumas de la forma $\sum\limits_k k^na^k$: Usted puede ver su suma como un caso especial de la energía de la serie
$$f(x)=\sum_{k\ge0}kx^k=\sum_{k\ge1}kx^k$$
con $x=a$. Es bien sabido que si $|x|<1$, luego
$$g(x):=\sum_{k\ge0}x^k=\frac1{1-x}$$
Al diferenciar ambos lados (podemos pasar el operador de la derivada de la suma, porque es lineal; la derivada de una suma es la suma de los derivados) con respecto a $x$, tenemos
$$\begin{array}{ll} \displaystyle\frac{\mathrm dg(x)}{\mathrm dx}&=\displaystyle\frac{\mathrm d\frac1{1-x}}{\mathrm dx}\\[1ex] \displaystyle\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\sum_{k\ge0}x^k=\sum_{k\ge0}\frac{\mathrm dx^k}{\mathrm dx}=\sum_{k\ge0}kx^{k-1}&=\displaystyle\frac1{(1-x)^2} \end{array}$$
En el lado izquierdo, nos encontramos con
$$\sum_{k\ge0}kx^{k-1}=\frac1x\sum_{k\ge0}kx^k=\frac{f(x)}x=\frac1{(1-x)^2}\implies f(x)=\frac x{(1-x)^2}$$
desde que llegamos a la conclusión de que
$$f(a)=\sum_{k\ge0}ka^k=\frac a{(1-a)^2}$$
