Propiedad universal de la topología de la convergencia uniforme

Question

¿Qué tipo de característica universal hace el fuerte de la topología de doble en $X'$, por $X$ ser localmente convexo del espacio. Es posible definir $X'$ como el límite proyectivo de la normativa de espacios de $\mathcal{L}(B,\mathbb{C})$ donde $B\in \mathfrak{B}_X$ un elemento de la orientación del conjunto de subconjuntos acotados de X? ¿Qué tipo de característica universal que hace el uniforme de la norma?

EDIT: Lo que realmente quiero saber es en qué sentido el (limitado) convergencia uniforme de las topologías son categóricos

EDIT: se sabe que hay un adjunto par de functors $(F,G)$ entre el monoidal simétrica categorías de localmente convexo espacios y convexo bornological espacios. El último es cerrado, es decir, para $X,Y \in \mathsf{cbs}$ no es un hom objeto de $[X,Y] \in \mathsf{cbs}$, que es el conjunto de limitada mapas junto con el bornology de equibounded conjuntos lineales de los mapas. Para $A,B \in \mathsf{lcs}$ obtenemos un espacio topológico $G(F(A),F(B))$ y desde el adjoint par es la identidad en el set de nivel, tenemos $G(F(A),F(B))=B(A,B)$. Por otra parte, sabemos que el $\mathcal{L}(A,B) \subseteq B(A,B)$. Por lo tanto, podemos dotar $\mathcal{L}(A,B)$ con la topología inicial con respecto a esta inclusión. Mi conjetura es que esto coincide con el delimitada la topología de la convergencia uniforme.

Answer 1

El fuerte de la topología $\beta(X',X)$ sobre el doble $X'$ está dado por el sistema de semi-normas $$p_B(f)=\sup\lbrace |f(x)|: x\in B\rbrace $$ and these are the norms of your spaces $\mathcal L(B,\mathbb C)$. Hence, $(X',\beta(X',X))$ is contained (as a topological subspace) in the projective limit of all $\mathcal L(B,\mathbb C)$. This limit consists of all linear maps $f:X\to\mathbb C$ que están delimitadas en todos los conjuntos acotados y, en general, es estrictamente mayor que $X'$.

Son iguales para los llamados "bornological" localmente convexo espacios, es decir, todos absolutamente conjunto convexo que absorbe todos los conjuntos acotados es una $0$-el barrio. Metrisable espacios son bornological (esto es muy elemental) y un hermoso teorema de Laurent Schwartz afirma que el fuerte dual de cada espacio de Schwartz es bornological (usted puede encontrar una prueba en el libro Inroduction para el Análisis Funcional por Meise y Vogt).

Por otro lado, hay espacios de Frechet (construido por Köthe y Grothendieck) cuyo fuerte duales no son bornological.