Una función si preserva límites

Question

Sé que si una función dada $f$ entre dos espacios topológicos es continua entonces la imagen de una secuencia convergente es convergente secuencia, y $f$ preserva el límite en el sentido de que $x_n \to x \implies f(x_n) \to f(x)$.

Lo contrario es cierto si el dominio es el primer contables: Si $X$ cumple el primer axioma de la countability y $x_n \to x \implies f(x_n) \to f(x)$ para cualquier secuencia convergente en $X$ $f$ es continua.

Así, este aún se mantiene si la afección sobre el dominio está caído? He estado tratando de encontrar un contraejemplo que no usan primera contables espacios como el Sorgenfrey de la Línea y los números reales con la cofinite topología como el dominio, pero cada vez que trato de romper la continuidad de la función termino con secuencias convergentes cuyas imágenes no converge. Me preguntaba si la declaración no es realmente cierto y puede ser probado sin el primer axioma utilizando una técnica diferente tal vez.

Answer 1

Vamos $X=\beta \mathbb N$ \ $\mathbb N$ donde $\beta \mathbb N$ es el Cech-Piedra (máximo) compactification del espacio discreto $\mathbb N.$ $X$ es un infinito compacto Hausdorff espacio sin puntos aislados, y con la propiedad de que la única secuencias convergentes en $X$ "con el tiempo-constante" de las secuencias. De hecho, si $S$ es un subconjunto infinito de $X$, entonces el cardinal de a $\overline S$ $2^{2^{\aleph_0}}.$ cualquier $f:X\to X$ conserva secuencias convergentes, si $f$ es continua o no. De curso $X$ no $1$st-contables.

Answer 2

Deje $\tau$ ser el co-contable de la topología en $\mathbb R$. A continuación, una secuencia $x_n$ $(\mathbb R, \tau)$ converge a $x$ si y sólo si $x_n$ finalmente es constante. En efecto, supongamos que la secuencia es a menudo diferente de $x$, es decir, dado cualquier $n \in \mathbb N$ no es un porcentaje ($m \geq n$tal que $x_m \neq x$. Entonces el conjunto $\mathbb R \setminus \{x_m; x_m \neq x\}$ es una vecindad de a $x$ que doens no contiene ningún elemento de la secuencia de $x_n$, lo $x_n$ no puede converger a $x$.

Esto implica que cada mapa de $f$ $(\mathbb R, \tau)$ tiene la propiedad de $x_n \to x \implies f(x_n) \to f(x)$, incluso los que son discontinuos. En particular, $f$ $(\mathbb R, \tau)$ sobre los números reales con la topología usual mapeo $x$ $x$tiene esta propiedad y no es continua, ya que $f^{-1}((0,1))$ no es un abierto de $(\mathbb R, \tau)$.