¿Cuál es el límite de una secuencia definida recursivamente como$x_1=2$,$x_{n+1}=1/(3-x_n)$ con$n \in \mathbb{N}$ y cómo pruebo que existe?

Question

Este es un ejercicio que he encontrado en línea.

Encuentre el límite de una secuencia definida recursivamente como$x_1=2$,$x_{n+1}=\dfrac{1}{3-x_n}$ con$n\in \mathbb{N}$. Demuestre que el límite existe antes de intentar encontrarlo.

Hasta ahora, he demostrado que$\{x_{n}\}$ está limitado debajo por$0$ y más arriba por$2$, ya que$\frac{1}{3-x_n}>0$ y$\frac{1}{3-x_n}\le 2$ para todos$n$.

Estoy atrapado aquí porque no estoy seguro de qué mostrar a continuación, y no sé exactamente cómo mostrar que el límite existe.

Answer 1

Al principio, puede mostrar que$x_1>x_2$ fácilmente.

Si$x_{n-1}>a_n$ contiene (y$0\le x_n \le 2$ para todos$n$), obtenemos $$ \begin{align} x_{n-1}>x_n & \Longrightarrow & -x_{n-1}<-x_n \\ & \Longrightarrow & 3-x_{n-1}<3-x_n \\ & \Longrightarrow & \frac{1}{3-x_{n-1}}>\frac{1}{3-x_n} \\ & \Longrightarrow & x_n > x_{n+1}\\ \end {align} $$

asi que $x_n>x_{n+1}$. Entonces esta secuencia convergente, por el teorema de convergencia monotono.

Answer 2

Para límite, resuelva la ecuación$$l=\frac{1}{3-l} \implies l^2-3l+1=0$$ You get $ l = \ frac {3+ \ sqrt 5} {2}, \ frac {3- \ sqrt 5} {2}$. Your limit will be $ \ frac { 3- \ sqrt 5} {2}$ since $ \ frac {3 + \ sqrt 5} {2}> 2 $.

Answer 3

Si existe un límite$L$, debe cumplir $$ x_ {n +1} = \ frac {1} {3-x_n} \ Rightarrow L = \ frac {1} {3-L} \ Rightarrow L ^ 2-3L +1 = 0 $$

Entonces los candidatos al límite son$\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$. Como has probado que la serie está limitada arriba por 2, solo una de ellas es posible.