¿Si o no asumimos el axioma de elección cambia la definición de un conjunto?

Question

Un conjunto es

... es una bien definida colección de objetos distintos, considerado como un objeto en su propio derecho. Por ejemplo, los números 2, 4 y 6 son distintos de los objetos cuando se consideran por separado, pero cuando se consideran en conjunto forman un conjunto único de tamaño tres, escrita {2,4,6} (de la Wikipedia).

Esto significa que $\{1, 1, 1, 1, 1, 1, ..., 2, 2, 2, 2, 2, 2, ..., 3, 3, 3, 3, 3, 3, ..., ...\}$ es el conjunto $\{1, 2, 3, ...\}$, por definición. Pero, sin el axioma de elección, ¿cómo podemos diferenciar entre los dos?

Answer 1

El axioma de elección no tiene nada que ver con la no repetición principio. En matemáticas no nos definir conjuntos en términos de otra cosa, sino más bien, al hacer las cosas con rigor, se describen los axiomas que queremos que nuestros conjuntos de satisfacer. Hay diferentes axiomatisations, y las cosas se ponen muy delicado, muy rápidamente. Un axioma, llamado el axioma de extensionality, expresó el deseo de que los conjuntos de ser completamente determinado por sus elementos. Esto implica que los conjuntos que usted ha mencionado son iguales. Así, es el axioma de la extensionality que está en juego aquí, no el axioma de elección.

El axioma de elección puede ser descrita de diferentes maneras y de manera adecuada comprensión de su necesidad y de sus consecuencias, toma tiempo. Una manera de pensar acerca de esto es pretender que va a ser muy precisos acerca de sus conjuntos y pregunto, si usted tiene un montón de no-vacía de conjuntos, lo que significa realmente para tomar un elemento de cada conjunto y formar un nuevo conjunto de estos elementos. Bien, si, por ejemplo, todos esos conjuntos son conjuntos de números naturales, entonces usted puede simplemente elegir el más mínimo elemento de cada conjunto. Eso es todo - en un muy breve frase que me describe, precisamente, lo que establece es. Ahora, ¿qué pasa si usted no tiene ningún mecanismo para elegir un elemento de cada conjunto? Bien, supongamos que tienes un millón de tales conjuntos. Bueno, se puede escribir una definición consistente de un millón de líneas, a saber: elija un elemento arbitrario desde el primer set. Seleccione cualquier elemento del segundo conjunto. Elija un elemento arbitrario del tercer set, etc., hasta que usted haya elegido un millón de elementos que van a formar su nuevo conjunto. Es perfectamente válido y no requiere el axioma de elección. Nota, sin embargo, que es muy larga la definición, pero todavía finito. Hacemos la demanda que nuestras definiciones, y nuestras pruebas, son todos finitos. Entonces, ¿qué sucede si usted tiene infinitamente muchos no vacía de conjuntos, y usted desea elegir un elemento de cada conjunto y formar a los en un conjunto? Bien, ahora usted tiene un problema, ya que su "definición" de este conjunto tiene que ser infinitamente larga y que no está permitido. Aquí es donde el axioma de elección. Se dice que puede acortar esta demasiado largo de una definición en una sola invocación del axioma de elección. Mucho como el principio de inducción permite aceptar una receta para una infinidad de pruebas en una sola prueba invocando el principio de inducción.

Answer 2

Usted está confundido por la diferencia entre la notación y lo que la notación representa.

Las manchas de tinta (o píxeles o lo que sea) que conforman "$\{1,1,1,\ldots,2,2,2,\ldots, 3,3,3, \ldots\}$" no son lo que el conjunto es -- que no son más que parte de una descripción de un conjunto, y el conjunto en sí "no sabe" cómo hemos elegido para describirlo.

¿Qué es un conjunto, entonces?

Más fundamentalmente, un conjunto es algo que nos puede preguntar, "es tal-y-tal uno de sus elementos?" para cada uno de estos y lo que podemos pensar, y obtener un "sí" o "no" como respuesta. Nada más, nada menos.

El axioma de extensionality afirma que si estamos viendo dos cosas y ellos están de acuerdo acerca de lo que sus elementos son -- es que si vamos a pedir a cada uno de ellos "es tal-y-tal uno de sus elementos?" acerca de la misma tal y tal, entonces se dan las mismas respuestas, entonces ellos realmente son el mismo conjunto. Tal vez podríamos imaginar que el conjunto tiene dos números de teléfono diferentes nos puede llamar para preguntar cuáles son sus elementos son, pero desconocida para nosotros ambos números conducen al mismo centro de llamadas. Pero (por lo que dice el axioma) todos los demás conjuntos saben esto, y que se nos dé la misma respuesta para$\{555,1,2,3,4\}$$\{555,4,3,2,1\}$.

La notación $\{1,2,3\}$ representa

un conjunto de respuestas "sí" a "es $x$ uno de sus elementos?" si $x=1$ o $x=2$ o $x=3$, y "no" en caso contrario.

La notación $\{1,1,\ldots,2,2,\ldots,3,3,\ldots\}$ es informal pero sería algo como

un conjunto de respuestas "sí" a "es $x$ uno de sus elementos?" si $x=1$ o $x=1$ o $x=1$ o ... o $x=2$ o $x=2$ o $x=2$ ... o $x=3$ o $x=3$ o $x=3$ ..., y "no" en caso contrario.

Para cada posible $x$, estas dos descripciones tanto de la demanda como la misma respuesta, por lo que describen el mismo conjunto.

Answer 3

Sí, pero no de la manera que usted piensa.

El axioma de elección no es usado para demostrar que $\{1,1,1,\ldots\}=\{1\}$. Sólo extensionality se utiliza allí. De modo que su conjunto es todavía sólo $\{1,2,3,\ldots\}$.

---

El resto de esta respuesta va a ser más técnico. Y se puede ignorar, y acaba de tomar la ingenua respuesta de arriba: no hay.

Pero ahora, vamos a hablar de turquía. Las definiciones sintácticas y los juegos semánticos. Usted puede tener conjuntos que tiene una única definición en un universo de la teoría de conjuntos, y toda otra definición en el otro. Y estas definiciones se puede usar el axioma de elección. Por ejemplo, $A=\{x\mid\mathsf{AC}\rightarrow x\neq x\lor\lnot\mathsf{AC}\rightarrow x=\varnothing\}$. En un universo donde el axioma de elección falla, $A$$\{\varnothing\}$, pero en un universo donde el axioma de elección tiene $A=\varnothing$. El conjunto en sí no cambia, pero la definición que hemos utilizado para definir este conjunto nos dio resultados diferentes. Para pasar de un universo de $\sf AC$ a un universo de $\lnot\sf AC$ tuvimos que elegir una definición diferente con el fin de obtener el mismo conjunto.

Answer 4

El axioma de elección no entra en juego aquí. El axioma de extensionalidad dice que "dos conjuntos son el mismo foro que tienen los mismos elementos".

Su conjunto ${1,1,1,1,1,\ldots, 2,2,2,2,2,\ldots, 3,3,3,3,3,\ldots }$ también tiene como su único % elementos $1$, $2$ y $3$, por lo que es igual a ${1,2,3}$; no hay más "copias" de $1$ "para elegir" (si ese es tu conexión a elección..). En esta notación, donde enumeran los elementos, duplicados no están escritos, generalmente.