Considere la posibilidad de un no-compacto de Riemann colector $M$ y el resolvent del Laplaciano $(-\Delta + \lambda I)^{-1}$. Se sabe que el resolvent en general, no es un operador compacto. Estoy tratando de entender por qué no. Me doy cuenta de que la prueba en el pacto de configuración no sigue a través de la no-compacto debido a la falta de compacto de Sobolev de la incrustación. Yo estaría feliz de ver por qué la resolvent no es compacto, incluso para $M = \mathbb{R}^n$, y una justificación para general no compacto $M$ sería excelente. Gracias.
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$M=\mathbb R^n$ Tomar una función lisa con soporte compacto $\phi\in C_0^\infty(M)$.
Entonces $$ \phi = (-\Delta+\lambda I) ^ {-1} ((-\Delta+\lambda I) \phi) $$ obviamente. Consideremos ahora las traducciones $\phi_k(x):=\phi(x+kv)$ $v\in \mathbb R^n$, $k\in \mathbb N$. Tomar la norma del $v$ suficientemente grande tal que las ayudas de diferentes %#% de #% están vacías.
El conjunto $$ X: = \ {(-\Delta+\lambda I) \phi_k,\ k\in\mathbb N} limita $\phi_k$, pero $$ $$ (-\Delta+\lambda I) ^ {-1} X $$ no es relativamente compacto en $L^2$.
Vlad
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La forma más sencilla de demostrar que para un no-compacto colector de la resolvent no tiene que ser compacto es dar un contraejemplo. Después de su (muy bueno) elección del colector $M=\mathbb{R}^n$, vamos a ver que $(-\Delta - \lambda I)^{-1}$ es no compacto. Por simplicidad, suponga $n=2$.
Suponga $\vec{\mathbf{x}}, \vec{\mathbf{y}} \in \mathbb{R}^2$. A continuación, la solución fundamental a $\mathit{\Phi}$ 2D Laplaciano $\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \ $ toma forma
$$ \mathit{\Phi}\big(\vec{\mathbf{x}}, \vec{\mathbf{y}}\big) =- \frac{1}{2\pi}\ln \big|\vec{\mathbf{x}} - \vec{\mathbf{y}} \big| = - \frac{1}{4\pi}\ln \Big( (x_1 - x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 \Big). \label{1}\etiqueta{1} $$
Recordemos que la solución fundamental de un lineal de la PDE, (que es equivalente a la de la función de Green) es el núcleo de resolvent del diferencial correspondiente operador.
Por ejemplo, ver en este enlace, en la página 4.
Indicar el resolvent $R_\lambda = (-\Delta - \lambda I)^{-1}$. A continuación, el resolvent de 2D Laplaciano toma forma $$ R_\lambda[u](\mathbf{x}) = \int_{\mathbb{R}^2} \mathit{\Phi}\big(\mathbf{x}, \mathbf{y}\big) u (\mathbf{y}).\etiqueta{2}\etiqueta{2} $$ Sustituyendo $\eqref{1}$ a $\eqref{2}$, obtenemos
$$ R_\lambda[u](\mathbf{x}) = - \frac{1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}^2} \bigg( \ln \big|\vec{\mathbf{x}} - \vec{\mathbf{y}} \big| \!\cdot\! u (\mathbf{y}) \bigg)\,\mathrm{d}^2 \mathbf y.\etiqueta{3}\etiqueta{3} $$ o, de manera equivalente, $$ R_\lambda[u]\big(x_1, x_2\big) = - \frac{1}{4\pi} \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \!\bigg(\! \ln\! \Big( (x_1 - x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 \)\! \cdot\! u\big(x_1,x_2\big)\! \bigg)dy_1 dy_2, \label{4}\etiqueta{4} $$ donde $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^2$ $\mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^2$.
Ahora, cuando tenemos la expresión explícita \eqref{3}, es fácil ver que la resolvent $R_\lambda$ no es compacto, ya que la integral kernel $\mathit{\Phi}\not\in L^2\big( \mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2\big) $.
