Diffeomorphisms de esferas en $\mathbb{R}^n$

Question

Estoy un poco pegado en el siguiente ejercicio:

Deje $f:B_r (x_0) \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ ser un diffeomorphism de $B_r (x_0)$ a $f(B_r (x_0))$. Si $\|f'(x)^{-1}\|\leq M$ todos los $x\in B_r (x_0)$$|f(x_0)|\leq r/M$,$0\in f(B_r (x_0))$.

He intentado usar la media del valor de la desigualdad para encontrar una sucesión convergente a cero, pero no parece haber ninguna hipótesis sobre la enlazado $M$, así que no estoy seguro si esa es la forma correcta para demostrarlo. Desde el único punto del dominio sé algo acerca de que es el centro de la $x_0$, supongo que debería tratar de mostrar el origen pertenece a un barrio de $f(x_0)$, pero no estoy seguro de cómo hacerlo. Podría alguien ayudarme?

Answer 1

Boceto: El derivado de la hipótesis de $\|f'(x)^{-1}\| = \|(f^{-1})'(f(x))\| \leq M$ da $\|f'(x)\| \geq 1/M$ todos los $x$$\|x - x_{0}\| < r$. Por el teorema de la función inversa, $f$ es un local diffeomorphism.

El valor medio teorema muestra que si $x$ $y$ son puntos arbitrarios de $B_{r}(x_{0})$,$\|f(x) - f(y)\| \geq \frac{1}{M}\|x - y\|$. En particular, si $0 < r_{0} < r$, $f$ mapas de la esfera de radio $r_{0}$ $x_{0}$ hacia el exterior de la bola de radio $r_{0}/M$$f(x_{0})$.

Esto es suficiente para implicar la imagen $f(B_{r}(x_{0}))$ contiene el balón $B_{r/M}(f(x_{0}))$, a pesar de que usted necesita topológico de maquinaria para probar esto si $n > 1$. (En el supuesto de que esta es la tarea de la topología o análisis, han aprendido recientemente cualquier relativa de homología o de Rham cohomology para la detección de la asignación de grados?)