$\lim_{x \to 0} \frac {(x^2-\sin x^2) }{ (e^ {x^2}+ e^ {-x^2} -2)} $ ¿solución?

Question

Hace poco hice un examen de matemáticas en el que tenía que resolver este límite

$$ \lim_{x \to 0} \frac {(x^2-\sin x^2) }{ (e^ {x^2}+ e^ {-x^2} -2)} $$

y pensé que lo había hecho bien, ya que procedí así: Primero apliqué la expansión de Taylor de los términos al segundo grado de Taylor, pero como descubrí que el grado en el numerador y en el denominador no eran iguales, opté por intentar bajar un grado de Taylor, y me encontré así:

$$\frac{(x^2-x^2+o(x^2) )}{( (1+x^2)+(1-x^2)-2+o(x^2) )}$$

que debería ser:

$$\frac{0+o(x^2)}{0+o(x^2)}$$

que debería conducir a $0$ .

Bueno, mi profesor valoró esto mal, y creo que me estoy perdiendo algo, o no entiendo cómo aplicar Taylor de la manera correcta, o mi profesor hizo una corrección errónea (nunca pude ver dónde mi profesor dijo que estaba equivocado, por eso os pregunto a vosotros)

¿Puede alguien decirme si realmente estaba equivocado, y en caso de que lo estuviera explicar cómo debería haber resuelto esto?

Muchas gracias.

Answer 1

Su funcionamiento es correcto, excepto el $o(x^2)$ debe ser $o(x^6)$ en el numerador y $o(x^4)$ en el denominador. Pero el punto principal es que como $x \to 0$ , se obtiene $\frac{0}{0}$ .

Sin embargo, esto no equivale a $0$ . Es "indeterminado" o no está bien definido.

Se puede considerar el proceder utilizando la Regla de L'Hopital, que establece que en estos casos, el límite no cambia si tomamos derivadas tanto del numerador como del denominador, y seguimos dejando $x \to 0$ .

Es posible que tenga que utilizar la Regla de L'Hopital más de una vez en algunos casos, o como ya se ha señalado, factorizar la expresión adecuadamente antes de tomar las derivadas para facilitar el proceso.

Answer 2

$$\lim_{x^2\to0}\frac{x^2-\sin x^2}{e^{x^2}+e^{-x^2}-2}$$ $$=\lim_{y\to0}\frac{y-\sin y}{e^y+e^{-y}-2}$$ $$=\lim_{y\to0}\frac{y-(y-\frac{y^3}{3!}+\frac{y^5}{5!}-\cdots)}{(1+y+\frac{y^2}{2!}+\frac{y^3}{3!}+\cdots)+(1-y+\frac{y^2}{2!}-\frac{y^3}{3!}+\cdots)-2}$$

$$=\lim_{y\to0}\frac{\frac{y^3}{3!}-\frac{y^5}{5!}+\cdots}{2(\frac{y^2}{2!}+\frac{y^4}{4!}+\cdots)}$$

$$=\lim_{y\to0}\frac{\frac{y}{3!}-\frac{y^3}{5!}+\cdots}{2(\frac{1}{2!}+\frac{y^2}{4!}+\cdots)}$$ Dividiendo el numerador y el denominador por $y^2$ como $y\ne 0$ como $y\to0$

Así que, $$\lim_{y\to0}\frac{y-\sin y}{e^y+e^{-y}-2}=0$$

Answer 3

$\frac{0}{0}$ es indeterminado no $0$ . Observe que puede factorizar el fondo (lo que puede facilitar el siguiente paso):

Aplicar L'Hospital dos veces.

Answer 4

¿Cómo es $\frac{0+o(x^2)}{0+o(x^2)}$ ¿Cero? ¡Hay que ampliar a un grado lo suficientemente alto como para mantener algo no trivial después de la cancelación!

Tenga en cuenta que $\sin(x^2)=x^2-\frac12 x^4+o(x^6)$ y $e^{\pm x^2}=1+\pm x^2+\frac 12 x^4+o(x^6)$ Por lo tanto $$f(x)= \frac{\frac12 x^4 + o(x^6)}{x^4+o(x^6)}=\frac{\frac12 + o(x^2)}{1+o(x^2)}\to \frac 12$$

Answer 5

También se puede escribir como ${x^2-\sin x^2}\over{4\sinh^2{x^2/2}} $ $\approx {{x^2-(x^2-x^6/3!)}\over{x^4}}$ $=1/6$