Base lineal de un anillo del cociente

Question

Pregunta:

Deje $k$ ser un número real, y vamos a $A$ denotar el anillo de $\mathbb{R}[x]/(x^2+k)$. Encontrar un $\mathbb{R}$-lineal base para $A$ y describir la multiplicación de la ley en términos de esta base.

No estoy muy seguro sobre el significado de la $\mathbb{R}$-base lineal. Por ejemplo, si $k=1$, $\mathbb{R}[x]/(x^2+k)$ es isomorfo a $\mathbb{C}$. Así que en este caso, el $\mathbb{R}$-lineal es simplemente un real escalar o simplemente 1. A la derecha?

Además, ¿cuál sería la forma general de la base para cualquier $k$, por favor?

También lo que significa para usted ", que describe la multiplicación de la ley"?

La Extensión De La Pregunta:

Como una variación a la pregunta anterior, ¿qué cambiaría si cambiamos $\mathbb{R}$$\mathbb{Z}$, por favor? Para ser más específico, ¿cuál es la base para $\mathbb{Z}[x]/(x^2-2)$ este momento, por favor? Gracias!

Answer 1

Por modding $\mathbb{R}[x]$ $(x^2+k)$, todos los que está haciendo es "extender" $\mathbb{R}$ junto a las raíces del polinomio $x^2+k=0$. En particular, como usted ha señalado, dejando $k=1$ le $\mathbb{R}[x]/(x^2+1)\cong \mathbb{R}[i]\cong \mathbb{C}$. En este caso, $\mathbb{R}$-base sería ${1,i}$, o si tuviera que expresar la base como elementos de $\mathbb{R}[x]/(x^2+1)$, se puede decir ${1,x}$ % de la ley de multiplicación $x^2=-1$.

Espero que esto te sirva!

Answer 2

Tienes que recordar la división de polinomios. Si $f(x),g(x)\in\mathbb{R}[x]$,$g\ne0$, existen únicos polinomios $q(x)$ $r(x)$ tal que $f(x)=g(x)q(x)+r(x)$ y el grado de $r$ es estrictamente menor que el grado de $g$.

En su caso, para cualquier $f(x)\in\mathbb{R}[x]$ hay $q(x)$ $a,b\in\mathbb{R}$ tal que $$ f(x)=(x^2+k)q(x)+ax+b $$ debido a $x^2+k$ tiene el grado $2$, por lo que el resto $r(x)=ax+b$ de $a$$b$.

Se puede ver la dimensión de $A$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$, ahora? ¿Tiene alguna restricción acerca de lo $a$ $b$ puede ser? Se puede deducir que cualquier elemento de a $A$ puede ser representado como la clase de equivalencia de un polinomio lineal? ¿Cómo se multiplique esos lineal de los polinomios?

(Sugerencia: la dimensión es $2$.)