Total con un dado del balanceo

Question

Supongamos que se lanza un $k$colindado mueren varias veces, por un total de puntuaciones a medida que avanza, hasta que alcanzan o sobrepasan $n$. (Para un uso en el mundo real ... si usted tiene un no-bucle tablero de juego y sólo seguir adelante, ¿cuáles son sus probabilidades de aterrizaje sobre un cuadrado?)

¿Cuál es la probabilidad de que usted realmente golpeó $n$?

Estoy tratando de resolver esto por mí mismo y han recibido una fea forma cerrada para $k=2$, y tiene un par de interrelacionadas recursividad expresiones para $k=3$ . Pero siento que debería ser la más elegante de las soluciones de las que he logrado, así que pensé en proponer el problema a la comunidad para ver si alguien viene con una respuesta, mientras que yo trabajo en esto.

Answer 1

Una repetición de la probabilidad está dada por

\begin{align} fn = \left{\begin{matrix} \dfrac{\sum{i=1}^k f_{n-i}}{k} & n > k\ \dfrac{(k+1)^{n-1}}{k^n}& 1\le n \le k \end{matriz} \right. \end{align} y la probabilidad correspondiente función generatriz puede ser escrita como\begin{align} F(x) &= \dfrac{1}{1-\dfrac{\sum_{i=1}^kx^i}{k}} \end{align}