Si un subconjunto admite una estructura suave que lo convierte en una subvariedad, entonces es una única.

Question

$$ \newcommand{\wh}{\widehat} \newcommand{\R}{\mathbf R} \newcommand{\rm}{\mathscr} \newcommand{\set}[1]{\{#1\}} \newcommand{\inclusión}{\hookrightarrow} \newcommand{\vp}{\varphi} $$

Estoy tratando de entender el siguiente teorema:

Teorema. Deje $M$ ser suave, un colector y $S$ ser un subconjunto de a $M$. No hay una única liso estructura en $S$, si existe, que la convierte en un suave colector tal que $i:S\inclusion M$ es un buen incrustación.

La única manera de probar que esto es, a través del lema resultó por debajo de cuya prueba es muy larga. Creo que la prueba del teorema anterior debería ser relativamente sencillo y claro y no debe requerir a hacer lo que he hecho. ¿Alguien tiene una corta prueba?

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Lema. Deje $S$ $k$- dimensiones incrustado submanifold de un buen colector $M$. A continuación, para cada una de las $p\in S$, existe un suave gráficos de $(U_p, \vp_p)$$(V_p, \psi_p)$$p$$S$$M$, respectivamente, tal que $U_p=V_p\cap S$, e $\psi_p\circ\vp_p^{-1}:\wh U_p\to \wh V_p$ (el `sombrero' denota la imagen de conjunto abierto en virtud de la correspondiente a la tabla) \begin{equation*} \psi_p\circ\vp_p^{-1}(x_1 , \ldots, x_k) = (x_1 , \ldots, x_k, 0 , \ldots, 0) \end{ecuación*} para todos los $(x_1 , \ldots, x_k)\in \wh U_p$. Por lo tanto, $\vp_p=(\pi\circ \psi_p\circ i)|_{V_p\cap S}$ donde $\pi:\R^n\to \R^k$ es la proyección en el primer $k$ coordenadas, y la colección de suavizar los gráficos de $\mr U=\set{V_p\cap S,\ (\pi\circ \psi_p\circ i)|_{V_p\cap S}}_{p\in S}$ es un buen atlas en $S$.

Prueba: Desde $i:S\inclusion M$ es una inmersión (que es más que eso), por la Constante Rango Teorema, sabemos que existe un suave gráfico de $(U,\vp)$ $S$ que contiene el punto de $p$, y un buen gráfico de $(V,\psi)$$M$, conteniendo de nuevo $p$, de tal manera que $U\subseteq V$ $\psi\circ\vp^{-1}(x_1,\ldots,x_k)=(x_1,\ldots,x_k,0,\ldots,0)$ todos los $(x_1,\ldots,x_k)\in \wh U$. Desde $i:S\inclusion M$ es en particular un topológico de la incrustación, sabemos que $U$ está abierto en $M$, por lo que podemos WLOG asumir que $U=V\cap S$.
Vamos a demostrar que $\vp=(\pi\circ \psi\circ i)|_{V\cap S}$. Para llevar a $q\in V\cap S$, e decir $\vp(q)=(x_1 , \ldots, x_k)$. Ahora tenemos $\psi\circ \vp^{-1}(x_1 , \ldots, x_k)=(x_1, , \ldots, x_k, 0 , \ldots, 0)$, dando $(\pi\circ \psi\circ i)(q)=(x_1 , \ldots, x_k)$.

Así hemos demostrado que para cada una de las $p\in S$, existe un suave gráficos de $(U_p, \vp_p)$$(V_p, \psi_p)$$p$$S$$M$, respectivamente, tal que $U_p=V_p\cap S$, e $\psi_p\circ\vp_p^{-1}:\wh U_p\to \wh V_p$ \begin{equation*} \psi_p\circ\vp_p^{-1}(x_1 , \ldots, x_k) = (x_1 , \ldots, x_k, 0 , \ldots, 0) \end{ecuación*} para todos los $(x_1 , \ldots, x_k)\in \wh U_p$. Queda por demostrar que $\mr U=\set{U_p, \vp_p}_{p\in S}$ es un buen atlas en $S$. Para ver esto, considere nota que \begin{equation*} \vp_q\circ \vp_p^{-1} = \vp_q\circ \psi_p^{-1} \circ \psi_p\circ \vp_p^{-1} \end{ecuación*} y en este mapa envía $(x_1 , \ldots, x_k)$ $\pi\circ\psi_q^{-1}\circ\psi_p(x_1 , \ldots, x_k, 0 , \ldots, 0)$todos los $(x_1 , \ldots, x_k)\in \vp_p(U_p\cap U_q)$, y por lo tanto es suave.

Answer 1

Yo estaría muy sorprendido si se puede evitar el uso de alguna forma de la lexema o la Constante de Rango Teorema para los mapas de $\mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^n$. Así como podemos definir liso $n$-colectores que se relaciona con ellos a $\mathbb{R}^n$, la propiedad de ser un liso $k$-submanifold es intrínsecamente conectado con el camino de $\mathbb{R}^k$ se encuentra en $\mathbb{R}^n$. Pero se puede sustituir el "lema" con un caso especial de la Constante de Rango Teorema: Si $f: \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^n$ es suave y $df_p$ es inyectiva para algunos $p$, entonces no es un diffeomorphism $g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ de manera tal que, cerca de $p$, la composición de la $g \circ f$ es la canónica de inmersión $(x_1,\ldots,x_k) \mapsto (x_1,\ldots,x_k,0,\ldots,0)$.

Ahora, por el teorema de unicidad:

Prueba. Queremos mostrar que no hay una única máxima suave atlas de las $S$ de manera tal que la inclusión $i: S \hookrightarrow M$ es un buen incrustación. Por lo tanto, es suficiente para mostrar lo siguiente: Si $\, \phi_1,\phi_2 : U \to \mathbb{R}^k$ son gráficos en $U \subset S$ tal que $$i \circ \phi_1^{-1}, i \circ \phi_2^{-1}: \mathbb{R}^k \to M$$ are smooth, then $\phi_1$ and $\phi_2$ are compatible, i.e. $\phi_2 \circ \phi_1^{-1}$ is smooth. To show this, fix a chart $\psi: V\subconjunto M \to \mathbb{R}^n$ where $V \cap S=U$. We know that $\psi \circ i \circ \phi_1^{-1}: \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^n$ is an immersion, so for any point $x \in\mathbb{R}^k$ there is a diffeomorphism $g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ such that $g \circ( \psi \circ i \circ \phi_1^{-1})$ is the canonical immersion near $x$. Letting $\pi: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^k$ ser canónica de la inmersión, se sigue que $$ \pi \circ g \circ \psi \circ i \circ \phi_1^{-1}=\operatorname{id}. \tag{1}$$ Por último, tenemos las $$\phi_1 \circ \phi_2^{-1}= \operatorname{id} \circ (\phi_1 \circ \phi_2^{-1})=\pi \circ g \circ \psi \circ i \circ \phi_1^{-1} \circ (\phi_1 \circ \phi_2^{-1}) = \pi \circ g \circ \psi \circ i \circ \phi_1^{-1}. \tag{2}$$ El mapa de la derecha es suave porque $\pi$, $g$, $\psi$, y $i \circ \phi_1^{-1}$ son lisas. $\square$

He aquí otra perspectiva que utiliza las mismas ideas:

Lema. Considerar los mapas de $X \overset{f}{\to} Y^k \overset{g}{\to} Z^n$ tal que $f$ es continua, $g$ es un buen inmersión, y $g\circ f$ es suave. A continuación, $f$ es también suave.

Prueba. Fijar un punto de $x \in X$ y los gráficos de $(V,\phi)$ $y=f(x) \in Y$ $(W,\psi)$ $z=g(y) \in Z$ que $g$ está representada localmente por la canónica de inmersión. Dejando $\pi: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{k}$ ser canónica de la inmersión, se deduce que el $\pi \circ \psi \circ g|_V \circ \phi^{-1}: \mathbb{R}^{k} \to \mathbb{R}^{k}$ es la identidad. Desde $f$ es continua, se puede encontrar un vecindario $U$ $x$ tal que $f(U)\subset V$. A continuación, la composición $$ \phi \circ f|_U=\pi \circ \psi \circ g|_V \circ \phi^{-1} \circ \phi \circ f|_U =\pi \circ \psi \circ g|_V \circ f|_U$$ es suave ya que $\pi$, $\psi$, y $g|_V \circ f|_U = (g \circ f)|_U$ son lisas. Desde $\phi$ es un diffeomorphism, $f$ es suave. $\square$

Esto también demuestra la singularidad resultado que busques: Si $i : S \hookrightarrow M$ es un buen incrustación y tiene otro liso incrustación $i': S' \to M$$i'(S')=i(S)$, entonces es evidente que existe una continua bijection $f:S' \to S$ tal que $i\circ f=i'$. El lema anterior implica que $f$ $f^{-1}$ son suaves, por lo tanto $S'$ $S$ son diffeomorphic.