¿Producto de conmutadores no es iguales al producto de menos de $k$ conmutadores?

Question

En un grupo libre $F$ con base $x_1, \ldots, x_{2k}$, ¿cómo puedo ver que el producto de los conmutadores$$[x_1, x_2] \ldots [x_{2k - 1}, x_{2k}]$$is not equal to a product of fewer than $k$ commutators $[v_i, w_i]$ of elements $v_i$, $w_i \in F$?

Progreso. Si ayuda, yo te puedo mostrar que si $\Sigma_g$ denota el cerrado superficie orientable de género $g$, entonces el grado de $1$ mapas$$\Sigma_g \to \Sigma_h$$ exist if and only if $g \ge h$.

Sé que el $2$-celda de $\Sigma_k$ está conectado por el producto$$[x_1, x_2] \ldots [x_{2k - 1}, x_{2k}].$$From a relation$$[x_1, x_2]\ldots[x_{2k - 1}, x_{2k}] = [v_1, w_1] \ldots [v_j, w_j]$$ in $F$, perhaps we could construct a degree $1$ map $\Sigma_j \a \Sigma_k$?

Pero me he atascado de aquí en adelante. Podría alguien ayudarme a terminar?

Answer 1

Denotar $W_n$ a ser la cuña $\bigvee_n S^1$ $n$ círculos. Definir $W_{2j} \to W_{2k}$ mediante la enumeración de los círculos usando los números de $1$$2j$, y el envío de los impares círculos $v_i$, y el incluso los a $w_j$. (desde $v_i, w_i$ son palabras en $x_1, x_2, \cdots, x_{2k-1}, x_{2k}$, definen los mapas de $S^1 \to W_{2k}$ observando un representante de esa palabra en el grupo fundamental de la $\pi_1(W_{2k})$).

Este mapa envía el conmutador a conmutador como $[v_1, w_1] \cdots [v_j, w_j] = [x_1, x_2] \cdots [x_{2k-1}, x_{2k}]$. Por lo tanto, se extiende a un mapa de $\Sigma_j \to \Sigma_k$ que es un homeomorphism en el interior de la 2-celda. Locales grado teorema, es de grado 1. Que tu mapa deseado.