En un grupo libre $F$ con base $x_1, \ldots, x_{2k}$, ¿cómo puedo ver que el producto de los conmutadores$$[x_1, x_2] \ldots [x_{2k - 1}, x_{2k}]$$is not equal to a product of fewer than $k$ commutators $[v_i, w_i]$ of elements $v_i$, $w_i \in F$?
Progreso. Si ayuda, yo te puedo mostrar que si $\Sigma_g$ denota el cerrado superficie orientable de género $g$, entonces el grado de $1$ mapas$$\Sigma_g \to \Sigma_h$$ exist if and only if $g \ge h$.
Sé que el $2$-celda de $\Sigma_k$ está conectado por el producto$$[x_1, x_2] \ldots [x_{2k - 1}, x_{2k}].$$From a relation$$[x_1, x_2]\ldots[x_{2k - 1}, x_{2k}] = [v_1, w_1] \ldots [v_j, w_j]$$ in $F$, perhaps we could construct a degree $1$ map $\Sigma_j \a \Sigma_k$?
Pero me he atascado de aquí en adelante. Podría alguien ayudarme a terminar?