Demuestre que$ND = DN$ donde$D$ es diagonalizable y$N$ es una matriz nilpotente.

Question

Deje $A$ $n \times n$ matriz compleja. Demostrar que existe una matriz diagonalizable $D$ y un nilpotent matriz $N$ tal que
una. A = D + N
b. DN = ND
y muestran que estas matrices son unívocamente determinado.

Creo que he resuelto de la parte a, pero no tienen una idea para continuar. Aquí es lo que he intentado:

Deje que $D = \begin{bmatrix} a_{11} & 0 \\ * & a_{nn} \\ \end{bmatrix}$ and $N = \begin{bmatrix} 0 & * \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$. Puesto que D es una triangular inferior de la matriz, su determinante es igual al producto de sus diagonales entradas y, por tanto, su polinomio característico es$(x-a_{11})...(x-a_{nn}).$, Entonces D es diagonalizable. Del mismo modo, el polinomio característico de a$N$$x^n$, por Cayley-Hamilton $N^n = 0$.
Actualización: Mi suposición para el D a de ser diagonalizable estaba mal, autovalores no tienen que ser distintos. Actualización después de las respuestas: Gracias a todos por su ayuda. Era sólo una pregunta en el final del capítulo "forma Canónica". Tan sólo sé Jordan en la forma, forma Racional, etc. No sé nada acerca de la Mentira de Álgebra, Semi simple de matrices, la Representación de la teoría, campo Perfecto mencionado en las respuestas. Honestamente, las respuestas no me ayudan a entender la solución, pero parece útil, así que tal vez ayudar a otras personas. Gracias.

Answer 1

Es el Jordan-Chevalley de descomposición. cf. http://en.wikipedia.org/wiki/Jordan%E2%80%93Chevalley_decomposition

Es válido cuando se $A\in M_n(K)$ donde $K$ es un campo perfecto. A continuación, $D$ (un semi-simple de la matriz) y $N$ (un nilpotent de la matriz) son polinomios en $A$ con coeficientes en $K$.

Por otra parte, hay un Newton-como método que permite calcular, con un polinomio de la complejidad, la anterior polinomios. En particular, nos quedamos en $K$ y no ir en su algebraica de cierre.

EDIT. @ rackne , usted no es un águila. De hecho Tlön Uqbar Orbis Tertius hizo el trabajo hasta el 80 %. Ahora escribo el final de la prueba.

Orbis demostró que existe un invertible $P$ s.t. $P^{-1}AP=diag(a_1I_{\alpha_1}+N_1,\cdots,a_kI_{\alpha_k}+N_k)$ cuando la $(a_i)$ son distintos de los números complejos, $\sum_i\alpha_i=n$ $N_i$ es nilpotent. A continuación, poner $D=Pdiag(a_1I_{\alpha_1},\cdots,a_kI_{\alpha_k})P^{-1}$$N=Pdiag(N_1,\cdots,N_k)P^{-1}$. Claramente $DN=ND$, $D$ es diagonalizable y $N$ es nilpotent.

Answer 2

Sugerencia: Deje $P$ ser el polinomio mínimo de a $A$. Se puede escribir como un producto de factores a tener la forma $(X-a)^n$, por ejemplo,$P = \prod_{i=1}^n (X-a_1)^{n_i}$. Entonces, el llamado "núcleo lema" los estados que $$\ker P(A) = \bigoplus_{i=1}^n \ker (A - a_i \mathrm{Id})^{n_i}$$ y cada uno de los subespacios $E_i = \ker (A - a_i \mathrm{Id})^{n_i}$ es estable.

Ahora tenga en cuenta que en $E_i$, usted tiene $A = a_i \mathrm{Id} + (A - a_i \mathrm{Id})$ y el segundo término es nilpotent.

Usted puede usar esto para tener un general de la descomposición de la forma $D+N$.

Para demostrar que $DN=ND$ $D,N$ son únicos, usted podría tratar de demostrar que los $D$ $N$ son de hecho polinomios en $A$.

Answer 3

Puede ver la Prop. 4.2, p.17 en Humphreys, James E. (1972), Introducción a Lie Algebras y Representation Theory. Esto es exactamente lo que necesitas.