Convergencia en la medida y $L_p$ implica que el producto converge en $L_p$

Question

Esto se dio en una vieja computadora como un problema verdadero o falso:

Si $1<p<\infty$ , $|f_n|\leq 1$ , $f_n\rightarrow f$ en medida, y $g_n\rightarrow g$ en $L_p$ entonces $f_ng_n\rightarrow fg$ en $L_p$ .

No se me ocurrió un contraejemplo de inmediato, así que aquí está mi intento:

Dado que la convergencia en $L_p$ implica la convergencia en la medida $g_n\rightarrow g$ en medida. Sea $E_1=\{x \in X:|f_n(x)-f(x)|>\epsilon_1\}$ , $E_2=\{x \in X:|g_n(x)-g(x)|>\epsilon_2\}$ y $E=E_1\cup E_2$ . Entonces $\mu(E)=0$ (¡advertencia: este es un uso incorrecto de la convergencia en la medida! Intentaré publicar una versión correcta en las respuestas)

y $$\int_X|f_ng_n-fg|^pd\mu=\int_{X\backslash E}|f_ng_n-fg+f_ng_n-f_ng_n|^pd\mu\leq\\\int_{X\backslash E}|f_n|^p|g_n-g|^pd\mu+\int_{X\backslash E}|g|^p|f_n-f|^pd\mu$$

La integral de la primera parte de la suma es cero, pero no sé qué hacer con la segunda integral.

¿Es el hecho de que $g$ está en $L_p$ y $|f_n-f|^p<\epsilon_2^p$ ¿es suficiente? Desde $$\int_{X\backslash E}|g|^p|f_n-f|^pd\mu\leq\epsilon_2^p\int_{X\backslash E}|g|^pd\mu=M\epsilon_2^p\rightarrow0$$ cuando $\epsilon_2\rightarrow0$ y $M=\int_{X\backslash E}|g|^pd\mu$ .

Answer 1

Observe que $$\lVert f_ng_n-fg\rVert_p\leqslant\lVert f_ng_n-f_ng\rVert_p+\lVert f_ng-fg\rVert_p $$ y utilizando el hecho de que $|f_n|\leqslant 1$ obtenemos $$\lVert f_ng_n-fg\rVert_p\leqslant\lVert g_n-g\rVert_p+\lVert (f_n-f)g\rVert_p,$$ por lo que el problema se reduce a demostrar que $\int|f_n-f|^p\cdot |g|^p\mathrm d\mu\to 0$ . Ahora la idea sugerida en el OP funciona: para un $\varepsilon$ , defina $A_n:=\{|f_n-f|\gt\varepsilon\}$ . Entonces $$\int|f_n-f|^p\cdot |g|^p\mathrm d\mu\leqslant \varepsilon^p+2^p\int_{A_n}|g|^p\mathrm d\mu.$$ Utilizando un argumento de aproximación, podemos demostrar que para cada $\varepsilon$ , $\int_{A_n}|g|^p\mathrm d\mu\to 0$ y la conclusión es la siguiente.

Answer 2

$$\int_X|f_ng_n-fg|^pd\mu=\int_X|f_ng_n-fg+f_ng_n-f_ng_n|^pd\mu\leq\\\int_X|f_n|^p|g_n-g|^pd\mu+\int_X|g|^p|f_n-f|^pd\mu$$

La primera integral de la suma se aproxima a $0$ como $n\rightarrow\infty$ desde $g_n\rightarrow g$ en $L_p$ y $|f_n|\leq 1$ .

Para la segunda integral dejemos $E_n:=\{x\in X:|f_n-f|>\frac{\epsilon}{2^n}\}$ , $\int_X|g|^pd\mu=M$ (ya que $g\in L_p$ ), y observe que $|f_n-f|\leq 2$ desde $|f_n|\leq 1$ y alguna subsecuencia $f_{n_k}\rightarrow f$ casi uniformemente. Así,

$$\int_X|g|^p|f_n-f|^pd\mu=\int_{X\backslash E_n}|g|^p|f_n-f|^pd\mu+\int_{E_n}|g|^p|f_n-f|^pd\mu\\\leq \frac{\epsilon^p M}{2^{np}}+2^pM\mu(E_n)$$

Que va a $0$ como $n\rightarrow \infty$ y $\epsilon\rightarrow0$ .