Por qué es $x^x$ sólo definidas $x>0$

Question

Considera la función real $x^x$.

Entiendo que $0^0$ está definido así como de valores de $x \neq 0$de #%, pero $x$$-1$$-2$bien han definido valores de la función (aunque curiosamente enfrente de muestra). ¿Por qué no está la curva bien definida $x

Nota: el dominio que me gustaría investigar esta función para es x es un elemento de los números reales

Answer 1

Piense en un número de la forma $x=-(n+a)$, donde $n\geq 1$ es un número natural y ${0<a as="" de="" ejemplo="" el="" entonces="" es="" este="" hay="" muchas="" n="" no="" opciones="" opciones.="" otras="" pero="" por="" que="" real="" real.="" si="" tambi="" un="">Es por ello que el dominio "natural" de $x^x$ no incluye números negativos, aunque - para un subconjunto seleccionado de ellos, el % de valores $x^x$valor real.

</a>

Answer 2

$$ x ^ x =\begin{cases} x^x\qquad\text{if } x>0 \ (-1)^x(-x)^x \quad\text{if } x0 \ \left(\cos(\pi x)+i\,\sin(\pi x)\right)(-x)^x \quad\text{if } x

Por supuesto, $x=-n$ entero, la parte imaginaria es $0$. La parte real es $\cos(\pi x)(-x)^x=\cos(-n\pi)(n)^{-n}=\frac{(-1)^n}{n^n}$. Por lo tanto, el resultado es real: $$(-n)^{-n}=\frac{(-1)^n}{n^n}$ $

Answer 3

Por ejemplo, $x0$ para que su función se convierte en: $$x^x=(-y)^{-y}=\frac{1}{(-y)^y}.$ $

Bueno, si $y$ es un número entero, es real, pero si $y$ es un número no entero como $\frac{1}{2}$ (o $\frac{2m+1}{2n}$), su valor es un número complejo (irreal): $$\frac{1}{(-1/2)^{1/2}}=\frac{1}{(1/2)i}.$ $

Answer 4

Está bien definido.

Esta es la trama:

https://www.wolframalpha.com/INPUT/?i=x%5Ex