Si un enlace consta de dos nudos, ¿podemos concluir que los dos componentes son simétricos?

Question

Supongamos que$L \subset S^3$ es un enlace que consta de dos nudos$J,K$ y$J,K$ tienen el mismo tipo de nudo. Si$J,K$ son anudados, ¿podemos concluir que existe un homeomorfismo$\varphi :S^3\to S^3$ que intercambia$J,K$?

Si$J,K$ no es trivial, la conclusión no es verdadera. Por ejemplo, podemos modificar el ejemplo 3F13 en el libro de Rolfsen para hacer tréboles asimétricos$J,K$.

Answer 1

Suponga $L$ es una orientada al enlace, y deje $[\mu_J],[\mu_K]\in H_1(S^3-L)$ representan los meridianos de los componentes de la $J$$K$. Un auto-homeomorphism $\varphi$ $S^3$ intercambiando $J$ $K$ en la homología de los swaps $[\mu_J]$$[\mu_K]$, posiblemente multiplicado por $-1$, que corresponde a la orientación de la inversión de un componente.

Lo que esto significa para la multivariable Alexander polinomio $\Delta_L(t_J,t_K)$ es que el $\Delta_L(t_J,t_K)=\Delta_{L'}(at_K,bt_J)$ donde $a,b=\pm 1$ $L'$ $L$ algunos de los componentes posiblemente invertido.

Yo hojeaba el LinkInfo de la base de datos hasta que me encontré con un $2$-componente de enlace cuyo multivariable Alexander polinomio se invariantes bajo componente de inversiones y que no disponen de esta simetría. L7a1 fue la primera, y sus componentes, que pasó a ser unknots.

$$\Delta_{\mathrm{L7a1}}(t_1,t_2)=1-t_1-2t_2+2t_1t_2+2t_2^2-2t_1t_2^2-t_2^3+t_1t_2^3$$