Dada la ecuación $\sum_{k=11}^{99} \left[x + \frac{k}{100} \right] = 765$, encuentra $[10 \, x]$.

Question

Dada la ecuación $\sum_{k=11}^{99} \left[x + \frac{k}{100} \right] = 765$ encuentra $[10 \, x]$.

He intentado resolver este problema de muchas formas y creo que utiliza la identidad

$$[x]+\left[x+\frac{1}{n}\right]+\left[x+\frac{2}{n}\right]+\left[x+\frac{3}{n}\right]+.....+\left[x+\frac{n-1}{n}\right]= [nx]$$

¿Alguien puede ayudarme por favor?

y ten en cuenta que x es un número real y $[\cdot]$ denota la función del mayor entero

Answer 1

Empezamos con la ecuación $765 = \sum_{i=1}^{89}\lfloor x + \frac{10+i}{100} \rfloor$

La primera observación es que todas las fracciones están entre $0.11$ y $0.99$. Si $x$ fuera un entero, ninguno de los términos añadidos sumaría algo a la suma porque serían eliminados por la función piso.

Por lo tanto $8 < x < 9$ ya que $712 = 8 * 89 < 765 < 9 * 89 = 801$. Entonces necesitaremos $765 - 712 = 53$ términos que eleven $\lfloor x + \frac{10+i}{100} \rfloor$ de $8$ a $9$

Obviamente esos serán los últimos $53$ términos. Por lo tanto, todos los términos con $i > 36$. Esto significa que $x + \frac{10 + 36}{100} < 9$ y $x + \frac{10 + 37}{100} \geq 9$. En otras palabras, $8.54 > x \geq 8.53$.

Esto significa que $\lfloor 10x \rfloor = 85$.

Answer 2

Esta es una identidad bien conocida conocida como la identidad de Hermite. Una prueba simple se encuentra aquí (Aunque, la prueba original de Hermite se basaba en identidades que involucraban exponentes) https://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_de_Hermite

Para la configuración general, también podemos hacer lo siguiente.

\begin{eqnarray*} S &=& \sum_{k=m+1}^{n-1}{\left\lfloor x+\frac{k}{n} \right\rfloor} \\ &=& l \left\lfloor x \right\rfloor + (n-1-m) \left( 1+ \left\lfloor x \right\rfloor\right) \\ \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \left\lfloor x \right\rfloor &\ge& \frac{S}{n-m-1} \\ &=& \left\lceil \frac{S}{n-m-1}\right\rceil \end{eqnarray*}

Usando esto, podemos resolver $l$,

\begin{eqnarray*} l &=& (n-m-1) \left( 1+ \left\lfloor x \right\rfloor\right) -S \end{eqnarray*}

Ahora observe que,

\begin{eqnarray*} \left\lfloor x+ \frac{k}{n} \right\rfloor &=& \begin{cases} \lfloor x \rfloor, &0\le k \le m+l \\ 1+ \lfloor x \rfloor, &k > m+l \end{cases}. \end{eqnarray*}

Para cualquier $\epsilon \in [0,1]$, tal que, $q=n\epsilon, q \in \mathbb{Z}_{+}$,

\begin{eqnarray*} \left\lfloor x+ \frac{k}{\epsilon n} \right\rfloor &=& \begin{cases} \lfloor x \rfloor, &0\le k \le \lfloor \epsilon(m+l) \rfloor \\ 1+ \lfloor x \rfloor, &k > \lfloor \epsilon (m+l) \rfloor \end{cases}. \end{eqnarray*}

Entonces la suma parcial deseada de Hermite, $S_{\epsilon} (x)= \lfloor \epsilon n x \rfloor = \sum_{k=0}^{n\epsilon-1}{\left\lfloor x+\frac{k}{n \epsilon} \right\rfloor}$, será, \begin{eqnarray*} S_{\epsilon} (x) &=& \sum_{k=0}^{n\epsilon-1}{\left\lfloor x+\frac{k}{n \epsilon} \right\rfloor} \\ &=&\left(1+ \left\lfloor \epsilon (m+l) \right\rfloor \right) \lfloor r \rfloor + \left(1+ \lfloor r \rfloor \right) \left(n-1- \left\lfloor \epsilon (m+l) \right\rfloor \right) \\ &=& \left(1+ \left\lfloor \epsilon (m+l) \right\rfloor \right) \left\lceil \frac{S}{n-m-1}\right\rceil + \left(1+ \left\lceil \frac{S}{n-m-1}\right\rceil \right) \left(n-1- \left\lfloor \epsilon (m+l) \right\rfloor \right) \end{eqnarray*}

El ejemplo en ejecución tiene $S=765,\epsilon=0.1, n=100, m=10$. La sustitución dará $l=36, \lfloor x \rfloor =8$ , y $S_{\epsilon} (x) = \lfloor 10x \rfloor =85$, coincidiendo con lo que Ronald llegó. Nota: (1+floor(0.1*(10+36)))*8+(1+8)floor(0.1(100-1-(10+36)))=85.

Nota: Simplemente estaba tratando de generalizar este problema. La identidad de Hermite es bastante útil y son posibles varios sumas parciales como estas, mediante manipulaciones simples.

En el lado divertido, es fácil jugar con diferentes valores de $\epsilon$ y $m$. Como caso especial, cuando $m=0$ y $\epsilon=1$, podemos obtener $S_{0}$, la identidad estándar de Hermite. Aquí hay un fragmento corto de código en Matlab

function [Se,xfloor,l]= partial_hermite_puzzle(S,m,n,epsilon)
% Se -- Suma parcial de Hermite (0 a epsilon*n-1)
% S  -- Suma de Hermite
xfloor=ceil((S-n+m+1)/(n-m-1));
l=-S+(n-m-1)*(xfloor+1);
Se=(1+floor(epsilon*(m+l)))*xfloor+(1+xfloor)*floor(epsilon*(n-1-(m+l)));