Área bajo una curva de una función impar desde infinito negativo a infinito positivo

Question

En la integración, hay una propiedad que dice: Si usted está integrando desde que un extraño la función f(x), entonces el área bajo la curva entre -a y a es igual a cero.

Yo estaba escuchando a este en la clase , y entonces pensé que la integración de alguna función, como x^3, de infinito a infinito positivo.

Pero, en el caso de integrar x^3 y, a continuación, resolver de infinito a infinito positivo, no terminan restando el infinito del infinito, que es indefinido?

Dado esto, que respuesta es la correcta: es la zona 0 o es indefinido?

Answer 1

Para integrales incorrectas, tienes razón: debes tener cuidado. Ambos límites deben existir independientemente el uno del otro. En su caso,$\int_{-\infty}^0 x^3\,dx$ es$-\infty$, de ahí que la integral "no existe" (excepto en el caso de números reales extendidos). Hay algo llamado valor principal, donde se toman los límites simultáneamente, por ejemplo,$$\lim_{N\to\infty}\int_{-N}^N x^3\,dx=\lim_{N\to\infty}0=0,$$ and in this sense, the limit will always give $ 0 $.

Answer 2

La integral incorrecta se define como$\int_{-\infty}^{\infty}x^3dx$ =$\lim_{\alpha\to-\infty}\lim_{\beta\to\infty}\int_{\alpha}^{\beta}x^3 dx$, que como dijiste no está definida ya que el cálculo final es$\infty-\infty$.

Sin embargo, a esta integral se le puede dar un valor por algo llamado el valor principal de Cauchy , que es un método para dar un valor al doble de integrales infinitas como esta. Se define como$PV\int_{-\infty}^{\infty}x^3dx$ $=\lim_{R\to\infty}\int_{-R}^{R}x^3dx$%, que convergerá a$0$ según su heurística.