$\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{n}{(k+n)!} \frac{n}{k!}$ Se traduce a: $\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{n}{(k+n)!} \frac{n}{k!}$

Question

$\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{n}{(k+n)!} \frac{n}{k!}} ~= ~?$

A partir del cálculo numérico, creo que la respuesta es $e^2$. Sin embargo, no tengo idea de cómo demostrarlo.

Answer 1

Establezca $m=n+k$. Entonces la suma es $$S=\sum_{k,m:0\le k\le m}\frac{(m-k)^2}{k!m!} =\sum_{k,m:0\le k