¿Dos funciones delta de Dirac en una integral?

Question

Para contextualizar, esto es de una clase de mecánica cuántica en la que considerábamos los valores propios continuos del operador de posición. Comenzando con la ecuación de valores propios de posición, $$\hat{x}\,\phi(x_m, x)=x_m\phi(x_m,x)$$ donde $x_m$ es el valor propio y $\phi(x_m, x)$ son las funciones propias continuas del operador de posición $\hat x$ . El profesor escribió que $\phi(x_m, x)=\delta(x-x_m)$ y afirmó que esto se debe a que la base propia es continua. Pero luego escribió lo siguiente $$\begin{align}\int_{-\infty}^{\infty}\phi^*(x_m,x)\phi({x_m}',x)\,dx &=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x_m-x)\delta({x_m}'-x)\,dx \tag{1}\\ &=\color{red}{\delta(x_m-{x_m}')}\end{align}$$

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No entiendo cómo la expresión en $(1)$ puede ser igual a la expresión en rojo. Entiendo que $$\begin{align}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x_m-x)\phi({x_m}',x)\,dx &=\phi({x_m}',x_m)\tag{2}\\&=\color{#080}{\delta(x_m-{x_m}')}\end{align}$$ ya que la integral "tamiza" el único valor de $x$ donde el argumento de la función delta de Dirac es cero (en $x_m$ ). He aplicado esta propiedad de tamizado para un Función delta de Dirac (como en $(2)$ ).

Pero no entiendo cómo funciona esto cuando hay dos Deltas de Dirac en el integrando, $(1)$ .

Según mi lógica, creo que debería tamizar cada valor, uno a la vez, por lo que creo que $(1)$ debe ser $$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x_m-x)\delta({x_m}'-x)\,dx =\delta(x_m)+\delta({x_m}')$$ donde se suman los resultados de la integración, ya que los valores $x_m$ y ${x_m}'$ se tamizan un después de el otro dependiendo de cuál de $x_m$ y ${x_m}'$ son más grandes (aquí he asumido ${x_m}'\gt x_m$ ).

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¿Podría alguien derivar o explicar por qué la ecuación $(1)$ es cierto, o darme alguna pista que me ayude a entenderlo.

Answer 1

Intuitivamente, $\delta(x_m-x)$ es distinto de cero sólo cuando $x_m=x$ . Asimismo, $\delta(x_m'-x)$ es distinto de cero sólo cuando $x_m'=x$ . Así que el factor $\delta(x_m-x) \, \delta(x_m'-x)$ es distinto de cero sólo cuando $x_m=x=x_m'.$ Después de la integración con respecto a $x$ todavía debemos tener $x_m=x_m'$ lo que hace que el resultado $\delta(x_m-x_m')$ muy natural.

Más formalmente, recordemos la fórmula $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, \delta(x_0-x) \, dx = f(x_0)$ . Aplique esto a la integral dada con $x_0=x_m'$ y $f(x) = \delta(x_m-x).$ Entonces el resultado $\delta(x_m-x_m')$ se cae.

Answer 2

$\delta(x)$ nunca está bien definida por sí misma (al menos no como función). Sólo está definida cuando aparece en una integral (posiblemente, multiplicada con otra función). Es esencialmente azúcar sintáctico y la "definición" es $$ \int_\mathbb{R}\mathrm{d}x\ f(x)\cdot \delta(x-x_0) := f(x_0) $$

Por lo tanto, lo que la identidad en cuestión significa realmente es $$ \int_\mathbb{R}\mathrm{d}y\: f(y)\cdot \int_\mathbb{R}\mathrm{d}x\: \delta(y-x) \cdot \delta(x_m'-x) = f(x_m') $$ para cualquier función $f$ .

¿Por qué? Bueno, básicamente se trata de cambiar el orden de integración: $$\begin{align} \int_\mathbb{R}\mathrm{d}y\: f(y)\cdot \int_\mathbb{R}\mathrm{d}x\: \delta(y-x) \cdot \delta(x_m'-x) =& \int_\mathbb{R}\mathrm{d}y \int_\mathbb{R}\mathrm{d}x\: f(y)\cdot \delta(y-x) \cdot \delta(x_m'-x) \\ =& \int_\mathbb{R}\mathrm{d}x \int_\mathbb{R}\mathrm{d}y\: f(y)\cdot \delta(y-x) \cdot \delta(x_m'-x) \\ =& \int_\mathbb{R}\mathrm{d}x\: \delta(x_m'-x) \int_\mathbb{R}\mathrm{d}y\: f(y)\cdot \delta(y-x) \\ =& \int_\mathbb{R}\mathrm{d}x\: \delta(x_m'-x) \int_\mathbb{R}\mathrm{d}y\: f(y)\cdot \delta(y-x) \\ =& \int_\mathbb{R}\mathrm{d}x\: \delta(x_m'-x) f(x) \\ =& \int_\mathbb{R}\mathrm{d}x\: \delta(x-x_m') f(x) \\ =& f(x_m') \end{align}$$

Lo anterior sería incontrovertible si $\delta$ eran sólo una función suave e impar con un soporte compacto. De hecho no lo es, pero se puede aproximar con tales funciones, así que al menos para las continuas $f$ no es problemático.

Answer 3

La delta de Dirac es una distribución, lo que significa que actúa sobre funciones suaves. La propia delta de Dirac no es una función suave, lo que significa que no puede actuar sobre sí misma. La expresión $$ \int_{\mathbb R}\delta(x-x_1)\delta(x-x_2)\mathrm dx=\delta(x_1-x_2)\tag1 $$ no tiene sentido desde un punto de vista riguroso. Si bien es cierto que tiene un sentido intuitivo, hacerlo riguroso requiere un poco de cuidado.

Para ello, consideraremos el delta de Dirac como el límite (en el sentido de las medidas) de un molificador: $$ \delta_\epsilon(x):=\epsilon^{-1}\eta(x/\epsilon)\tag2 $$ donde $\eta$ es una función absolutamente integrable con integral unitaria.

Con esto, $$ \lim_{\epsilon\to0^+}\int_{\mathbb R}f(x-y)\delta_\epsilon(x)\mathrm dx\equiv f(y)\tag3 $$ para ser lo suficientemente bueno $f$ . Obsérvese que esto es sólo una convolución: $f\star\delta_\epsilon\to f$ comme $\epsilon\to0^+$ . Esta es una afirmación perfectamente rigurosa.

Pero tenga en cuenta que $\delta_\epsilon$ es a su vez una función suave, lo que significa que podemos aplicar esta identidad a $f=\delta_{\epsilon'}$ : $$ \lim_{\epsilon\to0^+}\int_{\mathbb R}\delta_{\epsilon'}(x-y)\delta_\epsilon(x)\mathrm dx\equiv \delta_{\epsilon'}(y)\tag4 $$

Por último, el límite formal $\epsilon'\to0^+$ yileds la identidad en el OP (después de la redefinición $y=x_2-x_1$ y el cambio de variables $x\to x-x_1$ ). No hace falta decir que este último límite sólo tiene sentido en el sentido de las medidas, lo que significa que hay que considerarlo como una afirmación de que ambos lados son iguales cuando se integran sobre funciones suficientemente buenas.

Answer 4

Distingue dos casos:

• si $x_m\ne x'_m$ el producto de los deltas es siempre cero y la integral también;

• si $x_m=x'_m$ se tiene un delta al cuadrado, que da una integral divergente.

Por lo tanto, el valor de la integral puede expresarse como $\delta(x_m-x'_m)$ .

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Para ser rigurosos, habría que demostrar que la integral de un delta al cuadrado es el "mismo infinito" que un delta simple. En otros términos

$$\int_{y\in\mathbb R}\int_{x\in\mathbb R}\delta^2(x)\,dx\,dy=1.$$

Answer 5

La OP está preguntando:

¿Por qué es $ \int_{\mathbb{R}}\! \mathrm{d}y ~\delta(x-y) \delta(y-z)~=~\delta(x-z)~?$

Respuesta: Tanto la lhs. como la rhs. son notaciones informales $$ \iiint_{\mathbb{R}^3}\! \mathrm{d}x~\mathrm{d}y~\mathrm{d}z~ \delta(x-y) \delta(y-z) f(x,z)~=~u[f]~=~\iint_{\mathbb{R}^2}\! \mathrm{d}x~\mathrm{d}z~ \delta(x-z) f(x,z) $$ para el mismo distribución $u\in D^{\prime}(\mathbb{R}^2)$ definido como

$$u[f]~:=~ \int_{\mathbb{R}}\!\mathrm{d}y~f(y,y), \qquad f~\in~D(\mathbb{R}^2).$$