¿Por qué puedes encontrar las raíces a del polinomio al factorizarlo?

Question

Dejar $f(x) = x^2 - 9x- 10$

Podemos afirmar que$f(x) = (x + 1)(x-10)$ ya que simplemente lo factoré.

Las raíces de esta función son$-1$ y$10$. Sin embargo, ¿cuál es la relación entre un polinomio factorizado y sus raíces? ¿Por qué podemos asumir esto?

Answer 1

No es una suposición. Es un hecho general que si$ab = 0$, entonces o bien$a = 0$ o$b = 0$. Las raíces de un polinomio son los números que ese polinomio evalúa como$0$, por lo que para encontrar las raíces, es suficiente encontrar las raíces de los factores. Así que factorizamos todo lo que podemos. En su caso, este es un polinomio cuadrático, por lo que cualquier factor es lineal, y entonces es obvio cuáles son sus raíces.

Answer 2

Alfred Yerger explica por qué el factoring da raíces, pero que no explica el contrario: ¿por qué raíces dar factores?

Deje $p(x)$ ser un polinomio con una raíz de $c$. Por la división de $p(x)$$x-c$, podemos escribir $p(x)=q(x)(x-c)+r$ donde $r$ es el resto (una constante desde $x-c$ es un polinomio lineal). Ahora, sustituyendo $x=c$, obtenemos $p(c)=q(c)(c-c)+r$. Desde $p(c)=0$$c-c=0$,$0=r$. Es decir, no había ningún resto, después de todo! Por lo tanto, el resultado de la división larga es que $p(x)=q(x)(x-c)$. En otras palabras, si nos factor $x-c$$p(x)$, nos quedamos con un polinomio $q(x)$.

Algo que es fácil perderse con esto es que, en realidad, $p(c)=q(c)(c-c)+r$. Es decir, $p(c)=r$, o si no $c$ es en realidad una raíz. Por lo tanto, la división larga siempre te dará $p(x)=q(x)(x-c)+p(c)$. Esta es la base de una técnica computacional llamado la división sintética que da a la $q(x)$$p(c)$. Y, se necesita tanto esfuerzo para calcular tanto como lo hace para calcular, ya sea por su propia cuenta.

Answer 3

Un polinomio de grado $d$ tiene exactamente $d$ raíces (Teorema Fundamental del Álgebra), que pueden ser complejas y/o múltiples.

Si el factor en $n$ factores, los factores son también polinomio y sus grados son tales que $d=d_1+d_2+\cdots d_n$. Esto garantiza que ninguna raíz "se pierde". Por otro lado, cualquier raíz de un factor es forzosamente una raíz del polinomio inicial.

Por lo tanto las raíces de un polinomio son exactamente las raíces de los factores. La razón por la que el factor es que las raíces de los factores que pueden ser más fáciles de encontrar que los de la original polinomio.

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En el caso de los polinomios con coeficientes reales, puede ser más conveniente para el factor en primer grado binomios para las raíces reales y trinomios de segundo grado por el conjugado de a pares. E. g. $x^3+2x^2+2x+1=(x+1)(x^2+x+1)$.