Resolver ecuación funcional $f(2x) = N - \frac{2x}{f(x)^2}$

Question

Busco una solución continua a la ecuación funcional

$$f(2x) = N - \frac{2x}{f(x)^2}$$

donde $N$ es un número natural constante y $x \in \mathbb{R}$ no es negativo. No tengo mucha experiencia con ecuaciones funcionales así que aún no he probado nada. Si ayuda me interesa sobre todo cerca de $x=0$ . ¿Alguna idea?

Answer 1

Se trata de un sencillo estudio de $f(x)$ como $x\to0$ .

Sea $N>0$ .

Primer caso, si $f(0)=0$ entonces $$\lim_{x\to0}\frac{2x}{f(x)^2}=N\implies f(x)=\sqrt\frac{2x}{N}+o(\sqrt x)$$

Segundo caso, si $f(0)=N$ ,

• Suponiendo que $f(x)=N+ax+o(x)$ entonces \begin{align} f(x)^2 = \frac{2x}{N-f(2x)}&\implies N^2+o(1)=-\frac{2x}{2ax+o(x)}\\ &\implies a=-N^{-2} \end{align}

• Suponiendo que $f(x)=N-N^{-2}x+bx^2+o(x^2)$ entonces \begin{align} f(x)^2 = \frac{2x}{N-f(2x)}&\implies N^2-2N^{-1}x+o(x)=\frac{1}{N^{-2}-2bx+o(x)}\\ &\implies b=-N^{-5} \end{align}

• Y así sucesivamente...