Reescribiendo$\sin(2\cos^{-1}{(x/3)})$ como una fracción?

Question

Estoy buscando simplificar$$\sin(2\cos^{-1}{(x/3)})$ $

Sé que se simplifica a$\frac{2x}{3}\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}$, pero no estoy seguro de los pasos necesarios.

Gracias por cualquier ayuda

Answer 1

Use la fórmula de ángulo doble,$$ \sin{2\theta} = 2\sin{\theta} \cos{\theta}. $ $ Lo que sucede con$\cos$ es claro. Para lidiar con el seno, recuerde que$$ \cos^{2}{\theta}+\sin^2{\theta} = 1, $ $ con el que puede volver a escribir el seno, después de verificar qué signo de la raíz cuadrada. La respuesta que debes encontrar es$$ \frac{2x}{3}\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}. $ $

Answer 2

$$\sin (2\cos^{-1}y)=2y\sin(2\cos^{-1}y)=2y\sqrt{1-y^2}$$where in the first step I have used $ \ sin 2 \ theta = 2 \ sin \ theta \ cos \ theta$ and in the second step I have used $ \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = 1 $

Answer 3

(Si no te acuerdas de que $\sin({2\theta})=2\sin\theta\cos\theta$, usted puede mirar aquí para ayuda de las pruebas.)

Una alternativa después de la conversión de la ecuación de a $2\sin\theta\cos\theta$ donde $\theta=\cos^{-1}(x/3)$, es dibujar un triángulo para resolver por la falta de piezas.

Suponga que el ángulo de referencia es $\theta$. A continuación, dibuje $\cos^{-1}(x/3)$ donde $x$ es el lado adyacente, y $3$ es la hipotenusa. El uso del Teorema de Pitágoras, podemos ver el lado opuesto es $\sqrt{3^2-x^2}$. Por lo tanto, $\sin\theta$, siendo opuesto sobre la hipotenusa, es $(\sqrt{3^2-x^2})/3$. El $\cos$ se anulan el uno con el otro para conseguir $x/3$.

A partir de allí, se multiplican los términos juntos: $2 * ((\sqrt{3^2-x^2})/3) * (x/3)$.