Que $f$ $g$ ser dos homomorphisms del grupo de $G$ $G'$. ¿Es un subgrupo de $H$ de $G$?

Question

Por favor alguien puede comprobarlo?

Deje $f$ $g$ dos grupo homomorphisms de$G$$G'$. Deje $H \subset G$ ser el subconjunto $\{x \in G: f(x)=g(x)\}$. Es $H$ a un subgrupo de $G$?

Deje $e$ $e'$ denotar los elementos de identidad de $G$$G'$, respectivamente. Utilizando el hecho de que un homomorphism mapas de la identidad a la identidad, tenemos

\begin{eqnarray} f(e) = g(e) = e' \end{eqnarray}

Por lo tanto, $e \in H$. Ahora, vamos a $x \in H$. A continuación,

\begin{eqnarray} f(x) &=& g(x) \\ \end{eqnarray} Ya hemos demostrado que la $e \in H$, \begin{eqnarray} f(x \cdot x^{-1}) &=& g(x \cdot x^{-1}) \\ f(x)*f(x^{-1})&=&g(x)*g(x^{-1}) \\ f(x)*f(x^{-1}) &=& f(x)*g(x^{-1}) \\ f(x^{-1})&=&g(x^{-1}) \end{eqnarray} Esto implica que $x^{-1} \in H$. Ahora, vamos a $x$ $y$ ser elementos en $H$. A continuación,

\begin{eqnarray} f(x \cdot y) &=& f(x)*f(y)\\ &=& g(x)*g(y)\\ &=& g(x \cdot y) \end{eqnarray}

Por eso, $x \cdot y \in H$.

Desde $H$ es cerrado bajo la operación $\cdot$, contiene la identidad y la inversa de los elementos, es un subgrupo de G. La asociatividad de $\cdot$ $H$ lleva de la asociatividad de $\cdot$$G$.

Answer 1

Me gustaría señalar un carácter más abstracto respuesta, que sólo funciona para abelian grupos (un argumento similar como en el comentario se describe debajo):

Vamos a considerar el conjunto de $Hom(G, G')$ consiste de todo el grupo homomorphisms de $G$ $G'$de abelian grupos. Esto se convierte en un grupo si definimos $(f*g)(x) := f(x) * g(x)$ todos los $f, g \in Hom(G, G')$ y todos los $x \in G$. (Tal vez usted ya ha aprendido. Si no, luego resulta que $Hom(G, G')$ es un grupo es tan difícil/fácil como el de demostrar que $H$ es un subgrupo de $G$)

Ahora tenemos $H = \{x \in G | f(x) = g(x)\} = \{x \in G \mid (f*g^{-1})(x) = 1)\} = ker(f*g^{-1})$, se $ker(h)$ significa que el núcleo de $h \in Hom(G, G')$. Un núcleo de un grupo homomorphism es siempre una (de las normales) subgrupo.

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Otra prueba de que sigue la idea de k.stm. Funciona para todos los grupos:

Deje $f \times g: G \to G' \times G'$ ser la diagonal mapa (que es de nuevo un grupo de homomorphism) dada por $x \mapsto (f(x), g(x))$. $G' \times G'$ es un grupo de las componentes de la multiplicación. Ahora la prueba consta de las siguientes partes:

$1.$ Demostrando que la diagonal $\Delta = \{(y, y) \mid y \in G'\}$ es un subgrupo de $G' \times G'$

$2.$ Demostrando la igualdad de $(f \times g)^{-1}(\Delta) = H$

$3.$ Demostrando, o a sabiendas de que la preimagen de un subgrupo en un grupo de homomorphism es un subgrupo.

Answer 2

La prueba está perfectamente bien.