Ejercicio difícil en unicity de soluciones para un IVP

Question

Supongamos que$f$ y$g$ son continuos y$g$ es una función impar y que aumenta de forma estricta. Tengo que demostrar que el IVP$$y'=f(x)g(y)$$ $$y(0)=1$$ has a unique solution if and only if $$\lim \limits_{u \to 0} \left [ \int_{u}^{1} \frac {1}{g(y)} dy \right] = + \infty$ $

¿Alguien tiene una pista sobre lo que podría usar? No tengo ni idea de dónde sigue el resultado. Como$g$ es impar (y así$g(0)=0$), esperaría que el límite siempre sea infinito.

Sé que cualquier solución del ODE satisfará$$\int \frac {1}{g(y)} dy = \int f(x) dx$ $, pero no sé cómo podría usar este resultado ...

Answer 1

Me gustaría comentar en el post original, pero no tengo la rep todavía.

Como es, el problema no parece correctamente planteados. Considere el problema de valor inicial $$y'=y^{1/3}, \hspace{1cm} y(0)=1.$$

Aquí, $f(x)=1$ y $g(y)=y^{1/3}$. $g$ es impar y estrictamente creciente. Como $g$ es diferenciable en el real positivo, es Lipschitz continua en cualquier intervalo finito de la forma$[\alpha,1+\beta]$$0<\alpha<1$$\beta>0$. Por lo tanto, por la Picard-Lindelöf teorema, una solución única $y(t)$ de la urografía EXCRETORA existe para $t\in(1-\epsilon,1+\epsilon)$ y algunos $\epsilon>0$.

(EDIT: me olvidé de mencionar, por supuesto, tenemos $$\int_u^1 \frac{1}{y^{1/3}}dy=\frac{3}{2}\left(1-u^{2/3}\right)\rightarrow \frac{3}{2}$$ as $u\rightarrow 0^+$, de modo que el límite existe y no es infinito.)

La versión "correcta" es, probablemente, más a lo largo de las líneas de:

"Supongamos $f$ $g$ son continuos y $g$ es impar y estrictamente creciente. El problema de valor inicial $$y′=f(x)g(y), \hspace{1cm} \mathbf{y(0)=0}$$ tiene una solución única si y sólo si ...el límite de la relación... tiene "