Teorema del límite central para el proceso de Lévy

Question

Estoy leyendo un libro, que utiliza el Teorema del Límite Central de los Procesos de Lévy $X_t$ sin mencionar el teorema exacto. Debido a la propiedad de divisibilidad infinita puedo escribir $X_t$ como una suma de $N$ variables aleatorias iid $X^i$ $$X_t=\sum_{i=1}^N X^i_{t/N}$$ El problema es que quiero $t\rightarrow \infty$ pero para el CLT tengo que mantener fija la secuencia de mis variables aleatorias equidistantes iid (como $t/N$ fijo). Pero sí cambian, ya que $t\rightarrow \infty$ . El libro ahora sólo dice, que con el teorema del límite central para los Procesos de Lévy se mantiene para $t\rightarrow \infty$ $$\begin{align} \frac{X_t-\overbrace{tE[X_{1}]}^{=E[X_t]}}{\sqrt{t}}\rightarrow \mathcal{N}(0,\operatorname{Var}[X_1])\\ \sqrt{t} \left(\frac{X_t}{t}-E[X_1])\rightarrow \mathcal{N}(0,\operatorname{Var}[X_1]\right) \end{align}$$ No encuentro ninguna prueba, conferencia o literatura al respecto. ¿Pueden ayudarme?

Answer 1

Sin ninguna suposición adicional sobre el proceso de Lévy $(X_t)_{t \geq 0}$ El teorema del límite central no se cumple.

Dejemos que $(X_t)_{t \geq 0}$ sea un proceso de Lévy (unidimensional) con una tripleta de Lévy $(b,\sigma^2,\nu)$ . Definir

$$T(x) := \nu((x,\infty)) + \nu((-\infty,-x))$$

y

$$U(x) := \sigma^2+2 \int_0^x y T(y) \, dy$$

para $x>0$ . Existe la siguiente declaración de Doney y Maller:

1. Supongamos que $T(x)>0$ para todos $x>0$ . Entonces existen funciones deterministas $a(t),b(t)>0$ tal que $$\frac{X_t-a(t)}{b(t)} \stackrel{t \to \infty}{\to} N(0,1) \tag{1}$$ si, y sólo si, $$\frac{U(x)}{x^2 T(x)} \stackrel{x \to \infty}{\to} \infty.$$
2. Supongamos que $T(x)=0$ para todos $x>0$ (es decir, la medida de Lévy $\nu$ es simétrica). Entonces $(1)$ se mantiene si, y sólo si, $\sigma^2>0$ . En este caso, $a(t) = t \mathbb{E}(X_1)$ y $b(t) = \sigma \sqrt{t}$ es admisible.

En la dimensión $d>1$ hay resultados CLT para los procesos de Lévy por Grabchak.

Referencias:

• R.A. Doney y R.A. Maller: Stability and Attraction to Normality for Lévy processes at Zero and at Infinity. Journal of Theoretical Probability, Vol. 15, julio de 2002.
• Michael Grabchack: Una nota sobre el CLT multivariante y la convergencia de los procesos de Lévy en tiempos largos y cortos . ArXiV.