¿Qué significa eso realmente?

Question

Mi comprensión es que$\mathbf G_m$ representa$k^*$ (grupo multiplicativo del campo$k$) como un esquema de grupo.

Pero también he visto simbolos como$H^1(X_{et},\mathbf G_m)$? ¿Esto se trata de grupos de cohomología de$X_{et}$ en gavilla constante con valores en$\mathbf G_m$?

Answer 1

La primera instancia es el esquema de grupo $\mathbb{G}_m := \mathrm{Spec}(k[x^{\pm 1}])$. Asociado con este (abelian) esquema de grupo no es su functor de puntos que induce una gavilla (para el étale topología en la OPs de notación) de abelian grupos. Tenga en cuenta que si $X$ es un esquema sobre $k$, entonces el morfismos $X\to \mathrm{Spec}(k[x^{\pm 1}])$ son canónica bijection con el $k$-álgebra homomorphisms $k[x^{\pm 1}]\to\mathcal{O}_X(X)$; por lo tanto, con el conjunto de unidades de $\mathcal{O}_X(X)^\times$. En consecuencia, si estuviéramos hablando de esta gavilla en un esquema fijo $X$ con la topología de Zariski, entonces la notación $\mathcal{O}^{\times}_{X}$ podría ser más comunes de lo $\mathbb{G}_m$. Utilizamos $\mathbb{G}_{m}$ a destacar que es la gavilla de los grupos por algún sitio que podrán no ser los habituales de la topología de Zariski.