Transitorio de calentamiento de una varilla compuesta

Question

Una varilla recta se compone de dos partes, $[0,x_1]$ (en verde en la figura) con la difusividad térmica $\kappa_1$ $[x_1,x_2]$ (azul) con la difusividad térmica $\kappa_2$. La varilla está perfectamente aislado. Cero $y$ $z$ gradientes de temperatura son de suponer.

En $x=0$ la temperatura se mantiene constante a $T_0$. En $x=x_2$ la varilla está incrustada en un perfecto aislante ($\kappa=0$). En $t=0$ la varilla tiene una temperatura uniforme de $T(x,0)=T_i$.

Pregunta: ¿cuál es la evolución de la temperatura de la varilla?

1. El caso simple donde $\kappa_1=\kappa_2=\kappa$:

Deje $u(x,t)=T(x,t)-T_0$.

Luego de Fourier de la ecuación nos dice:

$$u_t=\kappa u_{xx}$$

Condiciones de contorno:

$$u(0,t)=0$$ $$u_x(x_2,t)=0$$

Condición inicial:

$$u(x,0)=u_i=T_i-T_0$$

Utilizando el Ansatz $u(x,t)=X(x)\Gamma(t)$, la separación constante de $-k^2$ y las condiciones de contorno anterior, esto se soluciona fácilmente:

$$\Large{u(x,t)=\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}B_n\sin\Bigg(\frac{n\pi x}{2x_2}\Bigg)e^{-\kappa \Big(\frac{n\pi }{2x_2}\Big)^2t}}$$

(para $n=1,3,5,7,...$)

El $B_n$ coeficientes puede ser fácilmente obtenida a partir de la condición inicial con la transformada de Fourier senoidal de la serie:

$$B_n=\frac{4u_i}{n\pi}$$

De nuevo sustituyendo obtenemos:

$$T(x,t)=T_0+\frac{4(T_i-T_0)}{\pi}\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n} \sin\Bigg(\frac{n\pi x}{2x_2}\Bigg)e^{-\kappa \Big(\frac{n\pi }{2x_2}\Big)^2t}$$

(para $n=1,3,5,7,...$)

Un complot para los tres primeros términos en $t=0.1$:

2. En el caso de que $\kappa_1\neq\kappa_2$:

Se definen dos funciones $u_1(x,t)$$[0,x_1]$$u_2(x,t)$$[x_1,x_2]$. Usamos el mismo Ansatz como en $1.$ vamos a suponer que ambas funciones tienen sus propios valores propios.

Condiciones de contorno:

$$u_1(0,t)=0\implies X_1(0)=0\tag{1}$$ $$\frac{\partial u_2(x_2)}{\partial x}=0\implies X_2'(x_2)=0\tag{2}$$

Además (continuidad):

$$u_1(x_1,t)=u_2(x_1,t)\tag{3}$$

Con la transformada de Fourier, el flujo de calor es el mismo en $x=x_1$:

$$\alpha_1\frac{\partial u_1(x_1)}{\partial x}=\alpha_2\frac{\partial u_2(x_1)}{\partial x}\tag{4}$$

Donde $\alpha_i$ son las conductividades térmicas.

una. para $u_1(x,t)$:

$$X_1(x)=c_1\cos k_1x+c_2\sin k_1x$$ $$X_1(0)=0\implies c_1=0\implies X_1(x)=c_2\sin k_1x\tag{5}$$

b. para $u_2(x,t)$:

$$X_2(x)=c_3\cos k_2x+c_4\sin k_2x$$ $$X_2'(x_2)=0\tag{2}$$ $$\implies -c_3k_2\sin k_2x_2+c_4k_2\cos k_2x_2=0\tag{6}$$ El uso de las condiciones adicionales de $(3)$$(4)$:

$$c_2\sin k_1x_1=c_3\cos k_2x_1+c_4\sin k_2x_1\tag{7}$$ $$c_2\alpha_1k_1\cos k_1x_1=-c_3\alpha_2k_2\sin k_2x_1+c_4\alpha_2k_2\cos k_2x_1\tag{8}$$

Problema:

$(6)$, $(7)$ y $(8)$ forman un sistema de tres ecuaciones simultáneas, pero con cinco incógnitas: $c_2$, $c_3$, $c_4$, $k_1$ y $k_2$.

Estoy tentado a establecer $c_3=0$ como se produciría $k_2$$(6)$. Creo que esto produciría también el resto de incógnitas. Pero puede que a priori suponen $c_3=0$? O es que hay otro enfoque posible?

También me preguntaba si quizás $k_1=k_2$. Los valores no dependen de $\kappa$, así que tal vez los autovalores $k$ son comunes para ambas funciones. Debido a $(4)$, $u_1$ y $u_2$ sería entonces todavía ser distintos.

Answer 1

Puedo ver cómo hacer esto ahora. Usted tiene 3 AC ecuaciones y 3 desconocido c y los desconocidos tiempo autovalor $\lambda^2$ (Usted sabe que $k_1=\lambda /\sqrt{\kappa_1}$$k_2=\lambda /\sqrt{\kappa_2}$). Usted puede eliminar 2 de la c. La tercera ecuación se dará una relación con la 3º c en el frente y un cero en el otro lado de la ecuación. Esto le permitirá determinar el $\lambda$. La última c se determina entonces por hacer el bien en el estado inicial, el uso de una serie infinita.

ANEXO

$$\frac{1}{T}\frac{dT}{dt}=\frac{\kappa}{X}\frac{d^2X}{dx^2}=-\lambda^2$$ Por eso, $$\frac{d^2X}{dx^2}+\frac{\lambda^2}{\kappa}X=0$$ Si la escala de tiempo para ambas regiones es la misma (como se esperaba), entonces: $$k_1=\frac{\lambda}{\sqrt{\kappa_1}}$$ and $$k_2=\frac{\lambda}{\sqrt{\kappa_2}}$$

Answer 2

Esto usa símbolos de parámetros a los que estoy más acostumbrado: k es conductividad térmica,$\alpha$ es difusividad térmica,$\rho$ es densidad y$c_p$ es capacidad calorífica.

Seguí el procedimiento que describí en mi respuesta anterior y obtuve lo siguiente:

La ecuación característica para el n-ésimo autovalor es: $$\tan\left[\frac{\lambda_n(x_2-x_1)}{\sqrt{\alpha_2}}\right]\tan\left[\frac{\lambda_nx_1}{\sqrt{\alpha_1}}\right]=\sqrt{\frac{k_1\rho_1c_{p1}}{k_2\rho_2c_{p2}}}$ $ La n-ésima función propia es:$$ X_n=\cos\left[\frac{\lambda_n(x_2-x_1)}{\sqrt{\alpha_2}}\right]\sin\left[\frac{\lambda_nx}{\sqrt{\alpha_1}}\right]\tag{0 < x <x1}$$X_n=\cos\left[\frac{\lambda_n(x_2-x)}{\sqrt{\alpha_2}}\right]\sin\left[\frac{\lambda_nx_1}{\sqrt{\alpha_1}}\right]\tag{x1<x<x2} Dejo que usted haga la intelección para obtener la n 'th coeficiente en la serie infinita.