Una varilla recta se compone de dos partes, $[0,x_1]$ (en verde en la figura) con la difusividad térmica $\kappa_1$ $[x_1,x_2]$ (azul) con la difusividad térmica $\kappa_2$. La varilla está perfectamente aislado. Cero $y$ $z$ gradientes de temperatura son de suponer.
En $x=0$ la temperatura se mantiene constante a $T_0$. En $x=x_2$ la varilla está incrustada en un perfecto aislante ($\kappa=0$). En $t=0$ la varilla tiene una temperatura uniforme de $T(x,0)=T_i$.
Pregunta: ¿cuál es la evolución de la temperatura de la varilla?
1. El caso simple donde $\kappa_1=\kappa_2=\kappa$:
Deje $u(x,t)=T(x,t)-T_0$.
Luego de Fourier de la ecuación nos dice:
$$u_t=\kappa u_{xx}$$
Condiciones de contorno:
$$u(0,t)=0$$ $$u_x(x_2,t)=0$$
Condición inicial:
$$u(x,0)=u_i=T_i-T_0$$
Utilizando el Ansatz $u(x,t)=X(x)\Gamma(t)$, la separación constante de $-k^2$ y las condiciones de contorno anterior, esto se soluciona fácilmente:
$$\Large{u(x,t)=\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}B_n\sin\Bigg(\frac{n\pi x}{2x_2}\Bigg)e^{-\kappa \Big(\frac{n\pi }{2x_2}\Big)^2t}}$$
(para $n=1,3,5,7,...$)
El $B_n$ coeficientes puede ser fácilmente obtenida a partir de la condición inicial con la transformada de Fourier senoidal de la serie:
$$B_n=\frac{4u_i}{n\pi}$$
De nuevo sustituyendo obtenemos:
$$T(x,t)=T_0+\frac{4(T_i-T_0)}{\pi}\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n} \sin\Bigg(\frac{n\pi x}{2x_2}\Bigg)e^{-\kappa \Big(\frac{n\pi }{2x_2}\Big)^2t}$$
(para $n=1,3,5,7,...$)
Un complot para los tres primeros términos en $t=0.1$:
2. En el caso de que $\kappa_1\neq\kappa_2$:
Se definen dos funciones $u_1(x,t)$$[0,x_1]$$u_2(x,t)$$[x_1,x_2]$. Usamos el mismo Ansatz como en $1.$ vamos a suponer que ambas funciones tienen sus propios valores propios.
Condiciones de contorno:
$$u_1(0,t)=0\implies X_1(0)=0\tag{1}$$ $$\frac{\partial u_2(x_2)}{\partial x}=0\implies X_2'(x_2)=0\tag{2}$$
Además (continuidad):
$$u_1(x_1,t)=u_2(x_1,t)\tag{3}$$
Con la transformada de Fourier, el flujo de calor es el mismo en $x=x_1$:
$$\alpha_1\frac{\partial u_1(x_1)}{\partial x}=\alpha_2\frac{\partial u_2(x_1)}{\partial x}\tag{4}$$
Donde $\alpha_i$ son las conductividades térmicas.
una. para $u_1(x,t)$:
$$X_1(x)=c_1\cos k_1x+c_2\sin k_1x$$ $$X_1(0)=0\implies c_1=0\implies X_1(x)=c_2\sin k_1x\tag{5}$$
b. para $u_2(x,t)$:
$$X_2(x)=c_3\cos k_2x+c_4\sin k_2x$$ $$X_2'(x_2)=0\tag{2}$$ $$\implies -c_3k_2\sin k_2x_2+c_4k_2\cos k_2x_2=0\tag{6}$$ El uso de las condiciones adicionales de $(3)$$(4)$:
$$c_2\sin k_1x_1=c_3\cos k_2x_1+c_4\sin k_2x_1\tag{7}$$ $$c_2\alpha_1k_1\cos k_1x_1=-c_3\alpha_2k_2\sin k_2x_1+c_4\alpha_2k_2\cos k_2x_1\tag{8}$$
Problema:
$(6)$, $(7)$ y $(8)$ forman un sistema de tres ecuaciones simultáneas, pero con cinco incógnitas: $c_2$, $c_3$, $c_4$, $k_1$ y $k_2$.
Estoy tentado a establecer $c_3=0$ como se produciría $k_2$$(6)$. Creo que esto produciría también el resto de incógnitas. Pero puede que a priori suponen $c_3=0$? O es que hay otro enfoque posible?
También me preguntaba si quizás $k_1=k_2$. Los valores no dependen de $\kappa$, así que tal vez los autovalores $k$ son comunes para ambas funciones. Debido a $(4)$, $u_1$ y $u_2$ sería entonces todavía ser distintos.
