La sustitución$y = ix$

Question

Dado $\int_0^\infty f(x) dx$, ¿en qué condiciones la sustitución de $y = ix$ no cambiar los límites de integración, por así decirlo? Desde la configuración de $y = ix$ cambios en el intervalo de integración a una trayectoria en el plano complejo, podríamos optar por algunos de contorno $C$ que incluye el real positiva del eje y mostrar, si es posible, que $\oint_C f(z) dz = \int_0^\infty f(x) dx$. La pregunta es: ¿Cuándo ocurrirá esto? ¿Qué condiciones debe $f$ satisfacer para que esto ocurra, es decir, cuando los límites de integración permanecen sin cambios? En otras palabras, cuando se $\int_0^\infty f(x) dx = -i\int_0^\infty f(-iy) dy$?

Gracias de antemano.

Answer 1

Uno bastante simple caso de que esto iba a pasar, es este:$R>0$, vamos a $C_R$ ser la curva a lo largo del eje real de$0$$R$, seguido por el cuarto de círculo de radio de $R$ en el cuarto cuadrante, terminando en el $-iR$, y vuelta a lo largo del eje imaginario a $0$. Si $f$ es analítica en el cuarto cuadrante, a continuación,$\oint_{C_R}f(z)\,dz=0$. Por lo tanto, si la contribución de cuarto de círculo se desvanece en el límite cuando $R\to\infty$, $\int_0^\infty f(x)\,dx=-i\int_0^\infty f(-iy)\,dy$ – en el sentido de que si el límite existe, entonces también lo hace la otra, y las dos integrales de acuerdo.

Con $\Gamma_R$ ser el cuarto de círculo se mencionó anteriormente, hay varias maneras de asegurarse de $\lim_{R\to\infty}\int_{\Gamma_R}f(z)\,dz=0$. El más simple es el si $f$ satisface $\lvert f(z)\rvert=o(\lvert z\rvert^{-1})$ en el cuarto cuadrante, pero esto no es necesario en absoluto.

Por ejemplo, considere el $f(z)=e^{-iz}/z$. A continuación, $\lvert f(z)\rvert=e^y/\lvert z\rvert$ ( $y=\operatorname{Im}(z)$ ). Usted puede conseguir fácilmente el requerido estimaciones de la integral; es un poco más fácil la sustitución de $\Gamma_R$ dos lados de un cuadrado, el uso de $e^y/\lvert z\rvert\le e^y/\lvert y\rvert$ a lo largo de un lado y $e^y/\lvert z\rvert\le e^y/\lvert x\rvert$ a lo largo de la otra.