Significado geométrico del gradiente

Question

Me cuesta entender el significado geométrico del gradiente. Entiendo cómo calcularlo en teoría, dada una función. Pero ¿qué pasa si no tenemos la función sino sólo un gráfico en 3D con puntos como éste:

Supongo que si soy capaz de encontrar los gradientes en cada punto de las esquinas de cada "rectángulo", obtendré fácilmente todo el gradiente, pero ¿cómo puedo hacerlo? ¿Qué hace exactamente el gradiente en este caso? ¿Debo comparar las áreas de todos los rectángulos vecinos para ver dónde hay una pendiente? ¿Debo comprobar de alguna manera en qué dirección cambia el área?

Todo lo que se explique fácilmente será de gran ayuda para mi comprensión, gracias.

Answer 1

Para una función $z=f(x,y)$ el vector de gradiente en $(x_0,y_0)$ es

$$\nabla f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\,\vec i+f_y(x_0,y_0)\,\vec j$$

Obsérvese que se define en el plano $(x,y)$ y representar geométricamente la dirección con pendiente máxima del gráfico $z=f(x,y)$ y la pendiente máxima viene dada por la norma, es decir, el vector "longitud del gradiente".

Obsérvese también que por el gradiente podemos calcular el derivada direccional para cada dirección definida por un vector $\vec v$ por el producto doct con el gradiente, es decir:

$$f_{\vec v}=\frac {\partial f}{\partial \vec v}=\nabla \cdot \vec v$$

Observa que en tu gráfica cerca del punto de la esquina el vector gradiente tiende a desaparecer ya que la pendiente es casi cero.