¿Tiene cada anillo comutativo cero-dimensional un índice limitado de nilpotency?

Question

Se llama un anillo comutativo cero-dimensional si todos sus ideales principales están máximas, y un anillo se dice que tienen un limitado índice de nilpotency si hay un número entero positivo $n$ tal que $x^n = 0$ cada nilpotentes $x$ en el ring. ¿Tiene cada anillo comutativo cero-dimensional un índice limitado de nilpotency?

Answer 1

¿Qué % de la nacional $k[x_2,x_3,\dots]/(x_2^2,x_3^3,x_4^4,\dots)$?

Answer 2

Aquí es una especie de explicación y generalización de Mariano ejemplo.

Es sabido que un anillo de $R$ es cero-dimensional si y sólo si para todos los $x \in R$ hay algo de $n \geq 1$ tal que $x^{n+1} | x^n$. De ello se desprende que cero-dimensional anillos están cerrados unter dirigida colimits. Alternativamente, esto se deduce del hecho de que $\mathrm{Spec} : \mathsf{Ring} \to \mathsf{Top}^{\mathrm{op}}$ conserva dirigida colimits.

En particular, es muy fácil construir arbitraria "grandes" cero-dimensional de los anillos! Pero, por supuesto, dirigida colimits puede destruir delimitada índice de nilpotency.